Je leest:

Differentiaal en integraal

Differentiaal en integraal

Auteur: | 1 augustus 1999

Als je in een woordenboek de woorden ‘differentiëren’ en ‘integreren’ opzoekt, vind je naast de wiskundige ook nog andere betekenissen.

Voor differentiëren vind je dingen die met verschillen te maken hebben, voor integreren dingen die met iets geheels te maken hebben. Dat is geen toeval want differentia is Latijn voor verschil en integer betekent geheel. Integer leeft in het Engels en in programmeertalen nog voort als ‘geheel getal’.

Volgens van Dale betekent differentiëren “de differentiaal, respectievelijk het differentiaalquotiënt bepalen”. Maar wat is een differentiaal?

Het integraalteken

Differentiëren

Het correct definiëren van wat een differentiaal is heeft de wiskundigen sinds het einde van de zeventiende eeuw bezig gehouden. Het intuïtieve antwoord werd gegeven door Leibniz, een van de ontdekkers van de differentiaal- en integraalrekening: ‘een oneindig klein verschil’. Leibniz gebruikte eerst het bovengenoemde differentia, maar voerde later het woord differentiaal in omdat het toch niet over echte verschillen ging.

Om aan te geven wat Leibniz bedoelde bekijken we hoe hij de raaklijn aan de grafiek van y=x2 in het punt (a,a2) bepaald zou kunnen hebben. Kies een punt b oneindig dicht bij a en bereken het verschil: b2-a2=(b+a)(b-a) en deel dit door b-a. Er komt uit b+a en dat is gelijk aan 2a omdat b-a oneindig klein is. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dus 2a.

Deze redenering deugde niet helemaal, want als b+a=2a dan moet b-a=0, maar dan hebben we zojuist 0 gedeeld door 0. Aan de andere kant, de methode gaf meestal wel het goede antwoord; er moest dus wel iets deugdelijks achter zitten. Tegenwoordig differentiëren we f(x)=x2 door keurig een limiet te nemen: f’(a)= lima→b (b2-a2) / (b-a) = lima→b b+a = 2a.

Integreren

Voor Leibniz was de oppervlakte onder de grafiek van een functie gelijk aan de som van oneindig veel oneindig smalle rechthoekjes. Hij noemde de integraalrekening in het begin calculus summatorius (sommeer-rekening) en voerde de het integraalsymbool (een langgerekte s, zie illustratie) in als symbool voor de oppervlakte.

Het waren de broers Johann en Jacob Bernoulli die de term calculus integralis (integraalrekening) voorstelden omdat ze vonden dat je bij het bepalen van de oppervlakte de rechthoekjes van Leibniz tot één geheel samenvoegt.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 augustus 1999

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.