In de tomografie houdt men zich bezig met het reconstrueren van objecten uit projecties. Dat klinkt wat abstract; het wordt al heel wat concreter als je denkt aan het voorbeeld van een medische CT-scanner. In elk Nederlands ziekenhuis is het tegenwoordig mogelijk om een scan te maken van je organen. De scanner bevat een Röntgenbron die om de patiënt heendraait en waarmee foto’s worden gemaakt vanuit een groot aantal hoeken. Die foto’s worden ook wel projectiebeelden genoemd. Met behulp van een computeprogramma wordt vervolgens een 3D-reconstructie berekend. Er bestaan verschillende methoden (reconstructie-algoritmes) om deze berekening uit te voeren, elk met hun eigen voor- en nadelen. Voor het berekenen van een nauwkeurige reconstructie zijn veel projecties nodig, vanuit meer dan honderd richtingen.

Discrete tomografie

In de afgelopen tien jaar is er een nieuwe vorm van tomografie ontwikkeld: de discrete tomografie. Discrete tomografie kun je gebruiken als het object dat je in beeld wilt brengen uit slechts enkele materialen bestaat. Ook als je bij medisch onderzoek maar enkele weefsels tegelijk in beeld brengt, bijvoorbeeld het bot in een been, kan discrete tomografie nuttig zijn. Zoals het woord ‘materialen’ al aangeeft, heeft discrete tomografie ook toepassingen buiten de medische sector. Daarbij kun je denken aan kwaliteitscontrole van chips in de industrie of de reconstructie van ruwe diamanten om een optimaal slijpplan te bepalen, zie onderstaande figuren. Als je van tevoren al weet uit welke materialen het object is opgebouwd, kun je deze kennis gebruiken in het reconstructie-algoritme.

Joost Batenburg verrichtte de afgelopen vier jaar onderzoek naar discrete tomografie. Hij ontwikkelde nieuwe reconstructie-algoritmes waarmee reconstructies van hoge kwaliteit kunnen worden berekend uit veel minder projecties dan bij de gebruikelijke tomografie. Daarbij ging het met name om het reconstrueren van een ‘binair’ object, dat wil zeggen een object dat uit slechts één materiaal bestaat. De reconstructie daarvan is een zwart-wit plaatje. Er bestaat een elegante overeenkomst tussen het binaire discrete tomografie probleem en een probleem uit de grafentheorie over stromen in netwerken. Voor dit grafenprobleem zijn reeds in de jaren 1950 en ’60 efficiënte oplossingsmethoden ontwikkeld. Door die methoden toe te passen op het discrete tomografie probleem, lukte het om een nieuw reconstructie-algoritme te ontwikkelen, dat heel goede resultaten geeft. Discrete tomografie is een zeer veelzijdig onderwerp, met raakvlakken aan de combinatoriek, grafentheorie, getaltheorie, beeldverwerking, coderingstheorie en andere vakgebieden binnen de wiskunde en informatica.

Tomografie en kristallen

Vanuit verschillende toepassingsgebieden wordt enthousiast gereageerd op deze nieuwe vorm van tomografie. In het bijzonder kan discrete tomografie worden gebruikt voor de driedimensionale reconstructie van nanokristallen, kristallen die uit maar een paar duizend atomen bestaan. De projectiebeelden worden in dit geval niet gemaakt met Röntgenstraling, maar met een elektronenmicroscoop. Samen met onderzoekers van het Lawrence Berkeley Lab in Californïe werkt Batenburg aan methoden om voor elk van de atomen te kunnen bepalen waar deze zich in het kristal bevinden. De nieuwe techniek kan door materiaalwetenschappers worden gebruikt om de eigenschappen van materialen beter te begrijpen en te voorspellen.