‘Als je op een verjaardagsfeestje vertelt dat je wiskundige bent, willen mensen eigenlijk niet eens meer weten wat je precies doet’, zegt Jan Brandts. Maar hij geeft toe dat dit ook niet zo één-twee-drie uit te leggen is. Wat hij exact aan het doen is, begrijpt slechts een handjevol mensen.
Brandts is onderzoeker aan het Korteweg-de Vries Instituut voor wiskunde. Hij houdt zich bezig met numerieke wiskunde. ‘Dat vakgebied houdt in dat je van problemen, waarvan je weet dat er een oplossing is maar deze niet precies kunt uitrekenen, toch probeert om zo goed mogelijk in de buurt te komen van de oplossing’, legt Brandts uit. ‘De kunst is om de oplossing te benaderen en vervolgens ook nog te bewijzen dat de benadering binnen gegarandeerde afstand van de echte oplossing ligt.’
Differentiaalvergelijkingen
De echte oplossing is vaak de oplossing van een differentiaalvergelijking. Differentiëren gaat zoals iedereen zich waarschijnlijk nog wel herinnert van de middelbare school: je hebt een functie en gaat op zoek naar de afgeleide. De afgeleide stelt vaak een verandering van een gegeven grootheid voor: zo is snelheid de afgeleide van de plaats en is de versnelling de afgeleide van de snelheid. Een differentiaalvergelijking beschrijft de relatie tussen een functie en zijn afgeleiden. ‘De vergelijkingen waar wij mee te maken krijgen zijn vaak heel moeilijk, of onmogelijk om exact op te lossen. Dus moet je slimme trucs bedenken om functies te vinden die weliswaar geen exacte oplossing zijn van die differentiaalvergelijking, maar die er nauwelijks van te onderscheiden zijn. En dat ’nauwelijks’ wil je dan kunnen kwantificeren. Dat laatste is voor mij het belangrijkst’.
Het oplossen van de differentiaalvergelijking gebeurt binnen allerlei toepassingen. Denk bijvoorbeeld aan natuurwetten, industriële processen, weersvoorspellingen en financiële wiskunde. ‘In een reële toepassing, zoals het vinden van de ideale kromming van een vliegtuigvleugel, ben je met miljoenen of misschien zelfs miljarden getallen tegelijk aan het rekenen.’ Dat rekenwerk laat men uiteraard zoveel mogelijk aan de computer over. ‘Het moeilijkste is vaak om te bedenken hoe de computer moet rekenen. Van veel problemen is al honderd jaar bekend hoe je ze in principe zou kunnen uitrekenen. Maar als je de computer volgens die methode laat rekenen, blijkt dat je om het weer van morgen te berekenen een jaar bezig bent! Dat schiet natuurlijk niet op, dus moet je slimmere wiskundige methoden bedenken die sneller zijn dan de bestaande. En daarin liggen leuke en grote uitdagingen.’
Vliegtuigvleugel van tetraëders
Om tot een oplossing te komen moet de numeriek wiskundige verschillende stappen doorlopen. ‘Eerst moet je de realiteit modelleren, bijvoorbeeld aan de hand van differentiaalvergelijkingen. Het benaderen van de oplossing hiervan resulteert in lineaire algebra: vergelijkingen met matrices en vectoren. Deze wil je vervolgens oplossen en omzetten in concrete getallen, en dat het liefst zo snel mogelijk.’ Brandts verdiept zich in alle facetten van het onderzoek, en werkt op dit moment onder andere aan het beschrijven van de meetkundige kant met behulp van lineaire algebra. ‘Om de krachten op een vliegtuigvleugel te beschrijven, moet je om te beginnen de vorm van de vleugel wiskundig benaderen. In een plat vlak werk je vaak met een rooster van driehoeken, in een driedimensionale ruimte met tetraëders: ruimtelijke figuren met een driehoek als grondvlak met één punt erboven. Op elk van de vier tetraëderhoekpunten woont een getalletje dat de werkelijke oplossing op dat punt van de vleugel benadert.’
Het benaderen van een ruimtelijk object met tetraëders heet trianguleren of meshing. ‘Je plakt tetraëders zo aan elkaar, dat de vorm gaat lijken op het object dat je modelleert.’ Soms is dat makkelijk: je wilt bijvoorbeeld de temperatuurverdeling weten in een sauna. Die is vanwege zijn rechthoekige vorm niet zo moeilijk onder te verdelen in tetraëders. Maar heb je een meer ingewikkelde ruimte waarbinnen je bepaalde vergelijkingen wil oplossen, bijvoorbeeld het interieur van een auto om te kijken hoe de geluidsgolven van de geluidsboxen weerkaatsen, dan wordt het een stuk lastiger. Door de tetraëders in vorm en grootte te variëren kun je de ruimte zo goed mogelijk opvullen. ‘De fout die je uiteindelijk in je berekening maakt, blijkt niet alleen af te hangen van de grootte, maar ook van de vorm van de tetraëders. En natuurlijk hoe goed je in staat bent de ruimte te vullen.’
Waarom niet gewoon de ruimte proberen te vullen met kubussen? ‘Het is inderdaad makkelijker om rechthoekige blokken aan elkaar te plakken, er zijn ook mensen die dat doen. Maar kubussen zijn minder flexibel en het benaderen van ronde vormen gaat lastig.’ Brandts tekent twee cirkels en probeert beide te vullen. Met driehoeken lukt dat inderdaad beter. ’Zelf kijk ik in de driedimensionale ruimte het liefst naar tetraëders omdat ze vier hoekpunten hebben. Een lineaire functie op een tetraëder wordt precies bepaald door de waarden op de vier hoekpunten van die tetraëder.
‘Ik vind tetraëders wiskundig gezien ook mooiere objecten, ze spreken mij meer aan. Bovendien komen er heel leuke zuiver wiskundige vraagstukken over tetraëders uit rollen.’ Brandts zegt met ondeugende blik: ‘Als numeriek wiskundige houd ik me dan wel bezig met de toepasbaarheid van de wiskunde, maar ik vind de zuiver wiskundige vraagstukken vaak leuker en interessanter om over na te denken.’
Spelletje
Brandts komt met een opdracht. Hoe kun je een vierkant verdelen in twee driehoeken? Simpel, trek een diagonaal. Maar lukt het ook een vierkant te verdelen in driehoeken die alleen maar scherpe hoeken hebben (alleen hoeken kleiner dan negentig graden)? Het klinkt als een spelletje maar Brandts legt uit dat dit soort vragen echt belangrijk is voor het leveren van bewijzen in de numerieke wiskunde. ’Als ik een differentiaalvergelijking wil oplossen met als domein een vierkant, kan ik bewijzen dat als ik wil dat de numerieke oplossing bepaalde eigenschappen heeft, ik alleen maar driehoeken mag gebruiken met scherpe hoeken. Door driehoeken met scherpe hoeken te gebruiken leg ik vast dat bepaalde fysische eigenschappen van de differentiaalvergelijking behouden blijven in de numerieke benadering.
Het vierkant vullen met scherpe driehoeken lukt. Brandts verklapt dat je er minstens acht nodig hebt, dat het ook lukt met tien of meer maar dat het niet lukt met negen driehoeken. Het platte vlak is geen partij voor Brandts, dat ligt heel anders bij drie dimensies. ‘Het zal je misschien verbazen, maar niemand weet of je een kubus kunt verdelen in tetraëdertjes waarvan de zijvlakken onderling alleen maar scherpe hoeken maken. Er is al wel aangetoond dat als het kan je heel veel tetraëders nodig hebt, maar of het ook echt kan weet niemand. Ik vermoed dat het niet kan en dat probeer ik te bewijzen.’
Omgekeerde plankenkoorts
Naast het doen van onderzoek en geven van college vindt Brandts het leuk om grote groepen mensen iets uit te leggen. Hij geeft diverse lezingen aan scholieren, docenten en een enkele keer aan het algemene publiek. ‘Het is een soort omgekeerde plankenkoorts, ik sta graag voor een publiek. Ik vind het leuk om te proberen om mensen naar me te laten luisteren, geweldig als zo’n zaal met ingehouden adem probeert te volgen wat ik aan het vertellen ben. Het is een uitdaging om toch een stukje moeilijke wiskunde te vertellen, ook al zijn mensen daar een beetje bang voor. Maar ik heb gemerkt dat als je een klein beetje liegt, het toch wel over te brengen is.’
Waar zijn liefde voor het podium vandaan komt, kan Brandts moeilijk beschrijven. ‘Wiskunde is best een eenzaam beroep, je zit achter je bureau en zo nu en dan ga je naar het buitenland om er met andere wiskundigen over onderzoek te praten. Mijn collega’s op het instituut doen uiteraard aan wiskunde maar dat is totaal iets anders, ik begrijp absoluut niet wat ze precies doen. Het is alsof je Chinees en Russisch met elkaar vergelijkt! Misschien is het geven van voordrachten wel een soort tegenhanger daarvan, dat ik toch op zoek ben naar die aandacht.’
Naast het geven van voordrachten is Brandts ook op internet actief. Hij verzorgt een webklas voor 5 en 6 VWO leerlingen, die hier gedurende vier weken gemiddeld drie uur per week aan kwijt zijn. Ze bestuderen het online materiaal, maken er opgaven over die ze via blackboard digitaal inleveren. Via discussieforums ontmoeten ze andere deelnemers en kunnen ze over de stof discussiëren. ‘Ze maken kennis met een andere wiskunde dan ze op school gewend zijn.’ De webklas lijkt een succes, vorig jaar waren er zeventig aanmeldingen waarvan de helft ook echt alle opdrachten maakte. Bovendien resulteerde het erin dat Brandts twee profielwerkstukken begeleidde. ‘Uiteindelijk hebben we natuurlijk als doel de instroom te verhogen. Dat doen we door individuele leerlingen die geïnteresseerd zijn in wiskunde aan te spreken. Jij vindt wiskunde leuk terwijl je vriendjes en vriendinnetjes dat maar idioot vinden. Zo’n idioot was ik vroeger ook’, lacht Brandts. ‘Die leerlingen die wiskunde wél leuk vinden, kunnen nu terecht in de webklas’.
Zie ook:
- De top-10.000.000.000 van Google (artikel van Jan Brandts over het PageRank-algoritme van Google)
- De homepage van Jan Brandts