De wiskunde van Hendrik Lenstra

Brandweerman, voetballer, piloot – dat zijn de favoriete beroepen van jongetjes van zes, zo wist de onderwijzeres in de tweede klas van de lagere school in Groningen. Tot in 1955 zij de zesjarige Hendrik Lenstra in de klas kreeg, die tot haar verbazing professor in de wiskunde wilde worden. Wie Hendriks familie kende, zou zich minder verbaasd hebben. Zijn oom, J. de Groot, was professor topologie in Amsterdam, en zijn eigen vader, Hendrik Lenstra senior, was leraar wiskunde en later rector, in Drachten en in Groningen. In de jaren zestig verhuisde het gezin naar Amsterdam waar Lenstra senior wetenschappelijk medewerker werd aan de Universiteit van Amsterdam. De wiskunde op school maakte op Hendrik geen bijzondere indruk. De wiskundige puzzels die zijn vader hem thuis voorlegde des te meer. Niet alleen op Hendrik trouwens, maar ook op drie van zijn broers: uiteindelijk gingen vier jongens Lenstra wiskunde studeren.

Al vroeg tijdens zijn studie blijkt Hendrik niet alleen goed te zijn in het oplossen van puzzels en vraagstukken, maar ook van open vragen. Op twintigjarige leeftijd schrijft hij, samen met een medestudent, zijn eerste wetenschappelijke publicatie over een combinatorisch probleem uit de theorie van abelse groepen. Lenstra benut bij voorkeur de nachtelijke uren om zich te verdiepen in de vaktijdschriften en handboeken van de instituutsbibliotheek. Haast verontschuldigend zegt hij: ‘Ik heb wel eens gehoord dat echt goed worden in iets berust op een tijdsinvestering van 10.000 uur.’ Die 10.000 uren heeft Lenstra, zo becijfert hij, in die nachtelijke uren gemaakt, maar dat alleen die uren genoeg zijn om de indrukwekkende wetenschappelijke productie te verklaren die volgde op zijn eerste publicatie uit 1969, zal niemand geloven.

Lenstra beschikt over uitzonderlijk talent, dat had wiskundig Nederland snel genoeg door. Op 28-jarige leeftijd werd hij dan ook benoemd tot hoogleraar aan de Universiteit van Amsterdam. Die leerstoel bleek geen eindstation. In de loop der jaren was hij gasthoogleraar aan een twintigtal universiteiten en onderzoeksinstituten over de wereld. Lange tijd was hij professor in Berkeley (Californië, VS), het onbetwiste centrum van wiskundig onderzoek. Op dit moment is hij hoogleraar aan de Universiteit Leiden. Vorig jaar werd hij door de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen benoemd tot Akademiehoogleraar, wat inhoudt dat hij geen bestuurlijke verplichtingen heeft, die normaal gesproken bij een hoogleraarschap horen. Lenstra kan doen waar hij zin in heeft en goed in is: onderzoek doen, promovendi begeleiden en college geven.

Zuiver en toegepast

Lenstra’s vakgebied is de algebraïsche getaltheorie. Een vakgebied dat oogt als een immens bouwwerk waarin de ene abstractie op de andere gestapeld is, en dat daarom gerekend wordt tot de ‘zuivere wiskunde’. In de tegenstelling ‘zuivere’ versus ‘toegepaste’ wiskunde zou de zuiver wiskundige zichzelf vragen stellen, met het oog op de uitbouw van het theoretisch bouwwerk, terwijl de toegepast wiskundige zich bezighoudt met vragen van buitenaf, met het oog op praktisch nut. Lenstra’s wiskunde onttrekt zich vaak aan deze tweedeling. Of vragen theoretisch of praktisch van aard zijn, maakt hem niet zoveel uit, als ze maar interessant zijn.

Het artikel dat hem al op 25-jarige leeftijd beroemd maakte, gaat over rationale functies die invariant zijn onder een eindige abelse groep, en heeft een geheel theoretisch karakter. Maar zeker zo bekend van hem is het LLL-algortime, dat hij samen met zijn broer Arjen en de Hongaar László Lovász ontwikkelde. Het is een rekenrecept dat bij een stel vectoren snel een geheeltallige combinatie levert met kleine coëfficiënten. Dit algoritme heeft voor een doorbraak gezorgd op allerlei gebieden, zoals het ontbinden van polynomen met gehele coëfficiënten, zogenaamd ‘geheel programmeren’, en het breken van bepaalde cryptosystemen. Sinds het publicatiejaar 1982 worden regelmatig nieuwe toepassingen en nog slimmere versies van het LLL-algoritme bedacht.

Van enkele jaren later dateert een belangrijk factoriseringsalgoritme. Daarbij wordt van een te testen getal een factor bepaald, door te rekenen op een elliptische kromme over dat getal. Het is, zo’n twintig jaar later, in veel gevallen nog steeds het snelste algoritme, met name als het getal relatief kleine factoren heeft. Het laat zien hoe een typisch ‘zuiver’ concept als de elliptische krommen van grote praktische waarde kan zijn.

Popularisering

Lenstra houdt van zijn vak, dat merk je direct als je hem over wiskunde hoort praten. De colleges die hij geeft zijn glashelder en fris, vaak humoristisch van toon. Ze zijn bij de studenten dan ook zeer geliefd. Evenzo zijn lezingen voor breder publiek. ‘Geen onderwerp in de wiskunde is zo complex dat je er niet een half uur interessant over kan vertellen.’ Lenstra zet in zijn lezingen niet zelden het wiskundig bouwwerk op zijn kop: in plaats van ons moeizaam de weg naar boven te laten volgen, van de ene notie naar de andere tot we uiteindelijk amechtig een interessant resultaat te zien krijgen, zet hij ons meteen op te top, waar we eenmaal enthousiast over het resultaat, nieuwsgierig naar beneden kijken om te zien hoe dat resultaat bereikt kon worden.

Ook via de media laat Lenstra graag zien wat de wiskunde vermag. Een goed voorbeeld is het project rond Eschers ‘Prentententoonstelling’. De prent berust op een Droste-effect, dat Escher echter niet geheel uitwerkte waardoor er in het midden een lelijke open plek zit. Met technieken uit de algebraïsche meetkunde werd het gat netjes opgevuld.

In 2000 was er veel publiciteit bij de Pi-dag in Leiden, waar Lenstra een belangrijke rol in de organisatie had. Ooit bevond zich in de Pieterskerk te Leiden de grafsteen van Ludolph van Ceulen (1540-1610), met daarop de eerste 35 decimalen van pi die Van Ceulen met noest rekenwerk bepaald had. De oorspronkelijke steen ging helaas verloren, maar aan de hand van een zeventiende-eeuws reisverslag kon een reconstructie gemaakt worden, die in het kader van het Wereld Wiskundig Jaar 2000 in de Pieterskerk werd geplaatst.

Het project ‘Reken mee met abc’ is eveneens een initiatief van Lenstra. Dit project, waarbij gezocht wordt naar ‘abc-drietallen’, zette de Universiteit Leiden in samenwerking met Kennislink op. Aan het abc-vermoeden, een belangrijk open probleem uit de getaltheorie, is nog veel rekenwerk te verrichten.

Onderzoek doen

Van huis uit zijn wiskundigen geneigd alles zelf op te bouwen. Je gebruikt een stelling pas als je hem zelf bewijzen kunt. Lenstra heeft in Berkeley geleerd dat die houding niet vol te houden is; wil je op het hoogste niveau meedoen aan onderzoek, dan moet je handig gebruik maken van de resultaten van anderen en je concentreren op die vragen waar je misschien een nieuwe stap kunt zetten. Lenstra beschrijft hoe je een onderzoek het beste kunt aanpakken. Verklein het probleem tot een vraag die in één dag te behappen is. Werk die dag met volle kracht alleen aan die ene vraag. Lukt het je de vraag te beantwoorden, ga dan de volgende dag verder met een zwaardere vraag. Lukt het niet, versimpel de vraag dan tot iets waar je de volgende dag mogelijk wel antwoord op zal weten te vinden.

Aan Lenstra’s stijl van onderzoek-doen valt verder op dat hij gemakkelijk samenwerkt met anderen. Waar sommige onderzoekers zich bij voorkeur afzonderen om niet afgeleid te worden door andermans ideeën, denkt Lenstra juist graag mee met een ander. Van die samenwerking hebben de vele jonge onderzoekers die hij opleidde geprofiteerd. Die belangstelling voor andermans gedachten spreekt ook uit zijn aandacht voor grote wiskundigen uit het verleden. Hij vertelt over Archimedes, Fermat en Kronecker alsof hij net e-mail van ze heeft ontvangen. ‘Het is verbazingwekkend hoe gemakkelijk wiskundige gedachten tijd- en cultuurbarrières passeren. Hoewel deze mensen in een geheel andere tijd leefden en over vrijwel alles volkomen anders dachten dan wij, is het zodra je hun wiskundige gedachten leest, alsof ze in je eigen huid zitten.’

Professor

Waarschijnlijk had de zesjarige Hendrik in Groningen nog geen beeld van de lange lijst publicaties, de gasthoogleraarschappen en de prestigieuze prijzen die nu achter zijn naam staan. Maar de gemiddelde dagbesteding van een professor sprak hem waarschijnlijk al aan. ’s Ochtends bij het eerste kopje espresso bedenk je welke interessante vraag je vandaag eens zal gaan aanpakken. En wie je zal bellen om dat eens samen te gaan doen. Professor in de wiskunde bleek een geslaagde beroepskeuze.