Je leest:

De wereld in het platte vlak

De wereld in het platte vlak

Auteur:

Vanaf de prehistorie hebben mensen kaarten van hun omgeving gemaakt. De Babyloniërs en de Egyptenaren maakten kaarten van de ligging van landerijen om na overstromingen het land opnieuw te kunnen verdelen.

In de bloeitijd van de Griekse cultuur gaat de kromming van de aarde een rol spelen bij het maken van kaarten. Eerst alleen bij het maken van sterrenkaarten. De sterrenhemel lijkt vanaf de aarde meer op een bol dan de aarde zelf. Toch wisten de Grieken al dat de aarde bolvormig was, en er zijn schattingen van de omtrek. Bijvoorbeeld van Earthostenes, die de de omtrek schatte op 252.000 stadiën. Bij een stadie van 154 meter ligt dat vlak bij de werkelijke waarde van 40.000 kilometer (de stadie varieert in de literatuur tussen 154 en 185 meter).

In de middeleeuwen werden allerlei fraaie kaarten van de aarde gemaakt. Vaak T-vormig: Afrika, Azie en Europa werden afgebeeld als drie aan elkaar grenzende landmassa’s, met daaromheen een smalle ringvormige oceaan. Afstanden ontbreken, en dat de aarde bolvormig is lijkt vergeten. Toen vanaf het einde van de vijftiende eeuw routes over zee naar Indië werden gezocht, waren betrouwbare kaarten nodig die een groot deel van de wereld besloegen. Een oplossing is het gebruik van globes, maar die zijn onhandig. Wereldkaarten wilde men, en toen ontstond er een probleem. Een onmogelijk probleem.

Een driehoekige reis

Stel je voor dat we een wereldreis gaan maken. We beginnen op de Noordpool en reizen via de kortste weg over de nulmeridiaan via London naar de Bocht van Guinee. Daar maken we een hoek van 90 graden en reizen verder over de evenaar naar Galapagos, een daar maken we weer een hoek van 90 graden en reizen over Noord Amerika terug naar de noordpool. Dan hebben we via een driehoek gereisd. Die driehoek heeft drie hoeken van 90 graden. Op een vlakke kaart kan dat dus nooit een rechtlijnige driehoek worden.

Toch hebben we drie maal over de kortste weg gereisd. Een goede kaart zou toch rechte lijnen moeten geven als we over de kortste weg willen reizen. We hebben daarom bewezen dat een perfecte wereldkaart (een kaart zonder vervorming) niet kan bestaan.

We laten daarom de hoop op een perfecte kaart varen en gaan op zoek naar praktisch bruikbare kaarten. Zo geeft figuur 1 goed weer dat de aarde een bol is, en dat de lijnen van kortste afstand (de zogenaamde ‘geodeten’) krom zijn. Figuur 1 is een kaart ‘in perspectief’, zoals je de aarde zou zien vanaf grote afstand. De afbeeldingsmethode voor dit type kaarten wordt vaak aangeduid als ‘planparallelle projectie’. Van de drie dimensies van de bol wordt één dimensie weggelaten om de kaart te maken.

Figuur 1. Een perspectiviache werledkaard Bron: www.mcalinden.com

De oplossing van Mercator

In het midden van de zestiende eeuw begon Gerhard (de) Kremer van Rupelmonde (een dorpje tussen Antwerpen en Gent) met het maken van een globe bedoeld voor de zeevaart. Aanvankelijk bracht dat hem in conflict met de autoriteiten die, 50 jaar na Columbus, dachten dat de aarde plat was. Zijn gegevens zette hij van de globe over op kaarten. Hij ontwikkelde en verfijnde die kaarten totdat hij in 1569 een perfecte wereldkaart maakte. Intussen was hij intussen een man van aanzien geworden en vertaalde daarom zijn naam in het Latijn: Gerard Mercator.

In de zeevaart wordt de vaarrichting altijd bepaald als de hoek met het noorden. Denk aan de poolster of het kompas. Een route die een constante hoek ten opzicht van het noorden heeft moet op een goede zeekaart worden weergegeven als een rechte lijn. Daarmee zijn de evenaar en de parallellen daarvan horizontale lijnen op de kaart. De meridianen zijn verticale lijnen. De ‘geografische lengte’, dat is de afstand in de oost-west richting kan direct op de kaart worden overgebracht. De ‘geografische breedte’, de noord-zuid afstand, kun je berekenen met behulp van logaritmen en goniometrie (zie onderaan dit artikel). Maar Mercator had geen logaritmen, en waarschijnlijk ook geen goede sinustabel. Mercator bereikte zijn resultaat met behulp van zijn nauwkeurige tekenkunst. De integraalrekening, waarmee de geografische breedte wiskundig kon worden bepaald kwam pas 150 jaar later.

In de Mercatorprojectie zijn de lengten niet betrouwbaar. Dat nam men voor lief. Met de onregelmatigheden van weer en wind waren afstanden toch niet zo belangrijk. En oppervlakten? De oppervlaktevergroting die bij de poolcirkels optreedt was niet zo belangrijk: de westkust van Amerika was nog niet eens verkend, en op de polen kon je niet eens varen. Deze kaarten waren voor de zeevaart het ideale compromis. De richtingen waren goed, daardoor waren de vormen van de eilanden en continenten redelijk nauwkeurig. De kaart is ‘hoekgetrouw’, dat wil zeggen, alle hoeken worden waarheidsgetrouw op de kaart afgebeeld.

Figuur 2. Een wereldkaart in Mercatorprojectie

Moderne cartografiemethoden

Na Mercator zijn er nog tientallen andere projectiemethoden ontwikkeld, ieder met zijn voor- en nadelen. Als je bijvoorbeeld een kaart wil hebben waarop kortste afstanden rechte lijnen zijn, dan kan dat met een zogenaamde ‘gnomische’ projectie. Dit is handig voor de luchtvaart. De maximale afstand zonder al te grote vertekening is 15.000 kilometer – binnen deze afstand moet een vliegtuig toch landen.

Als voor een ander doel oppervlakten precies moeten worden weergegeven, dan kan dat ook. Iedere cartografiemethode heeft zijn eigen vertekening.

Voor gnomische projectie doet men alsof een klein gebied ‘gefotografeerd’ wordt met de lens in het middelpunt van de aardbol. Neem dan een denkbeeldig vlak dat aan de bol raakt in het gebied dat we willen afbeelden. We kunnen dan een lijn trekken door het midden van de bol en een punt op het boloppervlak, en die lijn verlengen tot het vlak. Als we dit doen voor elk punt op het oppervlak, dan krijgen we een afbeelding van ons gebied.

Vaak worden projecties in twee stappen toegepast. Een cilinder en een kegel kunnen worden uitgerold tot een plat vlak. Je kunt dus eerst projecteren van een bol naar een cilinder of kegel, en daarna deze uitrollen tot een kaart. Zo bestaan er kaarten in ‘cilinderprojectie’ en ‘kegelprojectie’. De Peters-projectie, een cilinderprojectie die is uitgerekt, geeft de grootte van de afgebeelde gebieden precies weer. De uitrekking is nodig omdat anders alle details in de gematigde zones verloren gaan. Deze projectie heeft de voorkeur van veel ontwikkelingswerkers, omdat die laat zien hoe groot Afrika werkelijk is.

Mijn voorkeur gaat uit naar enkele varianten van ‘azimuthale projectie’. Die begint in het midden van de kaart, en maakt dan een kaart door ervoor te zorgen dat de afstand en de richting naar ieder punt tot in de verre omtrek precies op schaal zijn, gerekend vanuit het middelpunt van de kaart. Op deze manier kun je een halve bol heel precies weergeven, met tot aan de rand toe maar kleine afwijkingen in hoeken en oppervlakten. Via een truc kun je zelfs een hele wereld ermee afbeelden. Dat geeft kaarten zoals in figuur 3. De omgeving van de polen is minder fraai afgebeeld, maar wie heeft daar nu veel te zoeken? Zo worden er nog steeds nieuwe projectiemethoden uitgevonden.

Figuur 3. Een Azimuthale projectie van de wereld, met BFO (Black Forrest Observatory) als middelpunt. Bron: www-gpi.physik.uni-karlsruhe.de


Mercatorprojectie

Mercator moest ieder punt ( f,t) van een bol, waabij f voor de lengtegraad en t voor de breedtegraad staat (-180o < f < 180o, -90o < t < 90o), omzetten in een punt (x,y) in zijn kaart. Hij nam x gelijk aan f. Maar wat moest y worden opdat de kaart hoekgetrouw werd? Er moet dan gelden dat de verhouding van y tot t is als in bol en vlak. Dit levert een factor cos t op: dy/d t = 1/cos t

Deze (differentiaal)vergelijking heeft als oplossing y = ½ ln (1 + sin t) – ½ ln (1 – sin t) een formule die Mercator nog niet kende.


Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde Kennislink 17 jaar geleden

Discussier mee

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE