De vorm van een Möbiusband

Neem een dunne strook papier, draai één uiteinde over 180 graden en plak de uiteinden aan elkaar. Het resultaat is een Möbiusband, genoemd naar de bedenker, de Duitse wiskundige August Ferdinand Möbius (1790-1868). Het is het standaardvoorbeeld van een eenzijdig oppervlak. Als je hetzelfde probeert met een dikke strook papier, merk je dat het moeilijker of zelfs onmogelijk is om een Mobiüsband te maken.

Hoewel het intuïtief duidelijk is dat een Möbiusband met een dunne strook makkelijker te maken is dan met een dikke strook, was hier tot op heden nooit een precieze wiskundige verklaring voor. Eugene Starostin en Gert van der Heijden van het University College in Londen hebben nu wel een antwoord. Zij hebben uitgedokterd welke vorm een Möbiusband aanneemt, afhankelijk van de lengte en de breedte van de strook. Waar welft de band en hoe sterk zijn die welvingen?

Al in de jaren 1930 deden wiskundigen pogingen om deze vraag te beantwoorden. Maar pas 75 jaar later is het gelukt om een bevredigende oplossing te vinden. Starostin en Van der Heijden publiceerden hun resultaat deze maand in het blad Nature Materials. Zij gebruikten een theorie uit 1989 om een speciaal soort differentiaalvergelijkingen, de zogeheten Euler-Lagrange-vergelijkingen, op te lossen. Niemand kwam eerder op het idee om deze bijna twintig jaar oude theorie toe te passen op de vorm van een Möbiusband.

Met het nieuwe resultaat kunnen computersimulaties van Möbiusbanden worden gemaakt, en kan wiskundig worden verklaard waarom het moeilijker wordt zo’n band te maken naarmate de strook dikker wordt. De vorm van een Möbiusband wordt bepaald door wat de wetenschappers ‘energy density’ noemen: deze dichtheid is het grootst waar de band sterk buigt en het laagst waar de band het platst is. Naarmate de strook papier dikker is, wordt de ‘energy density’ op de plaatsen waar het papier sterk buigt groter. Op een gegeven moment is er een kritieke grens: dan lukt het niet meer om een Möbiusband te maken.

Toepassingen

De vinding van Starostin en Van der Heijden kan worden toegepast in de natuurkunde: er zijn niobiumselenide-kristallen in de vorm van Möbiusbanden. Ook in de kunst wordt dankbaar gebruik gemaakt van het eenzijdige oppervlak van Möbius. Onder andere Escher (1898-1972) deed er fraaie dingen mee. Maar of hij wat gehad zou hebben aan de recente berekeningen van de Möbiusband, vast niet.