De ruimte om je heen ziet er simpel uit: hij strekt zich gelijkmatig en voorspelbaar in drie richtingen of dimensies uit: van boven naar beneden, van achteren naar voren en van links naar rechts. Alles ertussen kan netjes met coördinaten worden vastgelegd via een assenstelsel in deze richtingen. Maar krijg je zo ook een complete beschrijving van onze gehele ruimte?
Het antwoord is nee, want anders zou je ook wel kunnen beweren dat de aarde plat is omdat die er van dichtbij overal min of meer plat uitziet. Pas vanuit de ruimte kun je zien dat de aarde rond is. Als je alleen maar kijkt naar wat je direct om je heen ziet, merk je dat niet. Net zo zou de ruimte als geheel best een bizarre vorm kunnen hebben zonder dat je dat van binnenuit direct kunt zien. We zouden bijvoorbeeld best in een 3-sfeer, de ruimtelijke ‘schil’ van een vierdimensionale bol, kunnen wonen!
Om erachter te komen wat de vorm van ons heelal is, kunnen we niet buiten het heelal stappen. Poincaré zocht daarom naar manieren om achter de vorm van de ruimte te komen zónder die ruimte te hoeven verlaten. Het Poincaré-vermoeden is een poging in die richting.
Poincaré-vermoeden: als alle wegen met hetzelfde begin- en eindpunt met elkaar verwant zijn en de ruimte is gesloten, dan heeft de ruimte de vorm van een 3-sfeer.
De begrippen ‘verwante wegen’, ‘gesloten’ en ‘3-sfeer’ leggen we verderop uit. Toch zie je waarschijnlijk wel dat het vermoeden een manier aangeeft om in het geval van een ‘3-sfeer’ van binnenuit te ontdekken in wat voor ruimte je zit.
Lagere dimensies
Om te begrijpen wat het Poincaré-vermoeden betekent, onderzoeken we eerst ‘platte ruimten’, zoals het (aard)boloppervlak, waar we wél van buitenaf bovenop kunnen kijken. Om de parallel te blijven zien met de ruimte om ons heen, moeten we het boloppervlak, of welke andere ‘platte ruimte’ dan ook, steeds beschouwen als een ruimte op zichzelf. Zie die ruimte maar als een platte schil waarbinnen kleine platte wezentjes leven die hun ‘ruimte’ zien als een platte vlakte met maar twee echt verschillende richtingen: voor/achter en links/rechts. Deze wezentjes, de platlanders, hebben er geen weet van dat hun wereld eigenlijk een boloppervlak is in een driedimensionale ruimte. De begrippen ‘boven’ en ‘onder’ zijn voor hun totaal niet voorstelbaar. Zo leven wij zelf namelijk ook in onze ruimte met het idee dat er drie richtingen zijn (boven/onder is de derde) zonder een voorstelling of zelfs maar woorden voor een mogelijke vierde richting.
Het aantal onafhankelijke richtingen binnen een ruimte heet de dimensie van die ruimte. Onze eigen ruimte heeft drie dimensies en het oppervlak van een bol maar twee. (Anders dan in het normale spraakgebruik, waarin een boloppervlak wel driedimensionaal wordt genoemd, gaat het in dit stuk steeds over wat je van binnen de ruimte ziet en in het geval van de bol is dat een vlakte, iets tweedimensionaals dus.) Als we over een ruimte praten, dan bepaalt de dimensie precies hoe die ruimte er van binnen voor zijn bewoners uitziet, namelijk ‘plat’ in het geval van de bol en ‘zoals we het kennen’ in onze eigen ruimte. Maar wat de vorm van de ruimte in zijn geheel is, ligt hierdoor nog niet vast.
Lijnlanders
In een ééndimensionale ruimte kun je als bewoner maar één richting op, namelijk naar voren (of naar achteren). Er valt dus niet veel te zien en elkaar inhalen is onmogelijk. Hoewel de ruimte er overal plaatselijk uitziet als een lijn, betekent dit nog niet dat de ruimte in zijn geheel ook een onbegrensde lijn is. Het zou ook een cirkel kunnen zijn, want plaatselijk is er geen verschil tussen een lijn en een cirkel. Van binnenuit is de enige manier om hier achter te komen steeds rechtdoor te lopen en te kijken of je vanzelf weer terugkomt waar je begon.
Omdat het erom gaat wat ‘lijnlanders’ binnenin zien, heeft het geen zin om een ovale, een driehoekige of een cirkelvormige ruimte uit elkaar te houden. In het algemeen zullen we steeds alle ruimten die als elastiekjes opgevat hetzelfde zijn, als hetzelfde beschouwen. Anders gezegd: we kijken door de bril van de topologie, een vakgebied van de wiskunde dat informeel ook wel ‘rubbermeetkunde’ wordt genoemd. We hebben zojuist al alle mogelijke ééndimensionale ruimten beschreven. De aanname dat de ruimte er op alle plaatsen uitziet als een lijn, laat topologisch gezien geen andere globale vormen toe dan een cirkel of een onbegrensde lijn.
Platlanders
Voor tweedimensionale ruimten blijkt veel meer mogelijk, zoveel zelfs dat we ons vanaf nu beperken tot gesloten ruimten. Dit zijn ruimten waar je niet oneindig ver van je startpunt kunt komen. In de formulering van het Poincaré-vermoeden hierboven gingen we ook uit van een ruimte die gesloten was. Andere voorbeelden van gesloten ruimten zijn de (ééndimensionale) cirkel en het (tweedimensionale) boloppervlak. Die zijn in zichzelf gesloten, zodat je onmogelijk oneindig ver van huis kunt komen. In een ruimte die bestaat uit een oneindig vlak, kan dit uiteraard wel gebeuren.
Naast het boloppervlak zijn er nog veel meer gesloten tweedimensionale ruimten, bijvoorbeeld de torus. Dat is het oppervlak van een ring of een zwemband, zie figuur 1. Ook krakelingen, oppervlakken met meer dan één gat, zijn mogelijk. De precieze vorm van de ruimte maakt niet uit. Hier gaat het er namelijk om hoe de platlanders die op zo’n oppervlak leven, hun ruimte zouden beschrijven. De gaten, die wij van buitenaf zien, kunnen de platlanders niet waarnemen. Zij kunnen zich de gaten zelfs niet voorstellen, omdat die buiten hun platte ruimte liggen. August Möbius heeft bewezen dat we zojuist álle mogelijke gesloten tweedimensionale ruimten hebben beschreven: het zijn of bollen of krakelingen.
Verkenningstochten
De vraag die we uiteindelijk voor onze eigen ruimte willen beantwoorden, is hoe je er van binnenuit achter komt wat de vorm van de ruimte is. Platlanders kunnen het antwoord op deze vraag vinden door systematisch door hun ruimte te lopen en hun paden te markeren. Laten we eerst kijken hoe ze op zo’n manier een bol van een torus kunnen onderscheiden, zie figuur 2. In beide ruimten onderzoeken we hoe je van een startpunt S naar een eindpunt E kunt lopen. Van buitenaf is het makkelijk te zien dat er op de torus veel echt verschillende paden van S naar E mogelijk zijn, terwijl op de bol alle paden van S naar E met elkaar verwant zijn. Met verwante paden bedoelen we paden die geleidelijk in elkaar over kunnen gaan, zoals bij een elastiekje, maar natuurlijk zonder de ruimte (het oppervlak) te verlaten, zie figuur 3. De platlanders op de torus kunnen zélf ontdekken dat er paden van S naar E zijn die niet met elkaar verwant zijn. Ze zullen zelfs oneindig veel niet-verwante windingen vinden rond hun torus. Daarmee weten ze zeker dat ze niet op een bol leven. Als het echt goede wiskundigen zijn, kunnen ze na zo’n onderzoek zelfs beredeneren dat er maar één ‘gat’ in hun ruimte zit, dus dat ze op een torus en niet op een krakeling leven!
Op dit soort redeneringen baseerde Poincaré ook zijn vermoeden. Hij vroeg zich af of je in de echte ruimte ook zeker weet wat de vorm ervan is als je merkt dat alle wegen met hetzelfde begin- en eindpunt met elkaar verwant zijn. We zullen zien dat er in elk geval één gesloten ruimte is waarin alle wegen met elkaar verwant zijn, namelijk de 3-sfeer. Poincarés vermoeden is dus dat de 3-sfeer de enige gesloten ruimte is met deze eigenschap, net als het boloppervlak (dat je ook wel de 2-sfeer zou kunnen noemen) dat is bij de tweedimensionale gesloten ruimten.
Ruimtelanders
Nu zijn wij zelf de platlanders, of liever gezegd, de ruimtelanders. We weten alleen hoe het is om binnen onze ruimte te zijn, maar dat vertelt ons weinig over de vorm van de ruimte zelf. De beste manier om toch een voorstelling te krijgen van zulke driedimensionale ruimten, zoals de 3-sfeer, is door er kaarten van te maken.
In figuur 4 staan boven bekende kaarten van de wereld, en beneden kaarten van de 3-sfeer. Reizen we van Europa zuidwaarts naar de evenaar, dan weten we dat we daarna vanzelf in het zuidelijk deel van Afrika op de andere kaart uitkomen. We stellen ons dus voor dat de kaarten van het noordelijk en het zuidelijk halfrond (dat zijn twee cirkelschijven) langs hun randen (de evenaar) aan elkaar vastzitten, zodat ze samen de hele globe vormen. Net zo, maar dan met één dimensie meer, moeten we de kaarten van de 3-sfeer lezen. Deze bestaan niet uit twee schijven, maar uit twee massieve bollen die de rol van noordelijk en zuidelijk halfrond spelen. De oppervlakken van de twee bollen zitten weer aan elkaar vast en spelen dus de rol die de evenaar op de globe heeft. Binnen de bollen kun je vrij heen en weer lopen of vliegen. Het ziet er daar heel vertrouwd driedimensionaal uit, zeker als je heel klein bent ten opzichte van de grootte van de bollen.
Hoewel we ons niet direct kunnen voorstellen hoe de 3-sfeer er als geheel uitziet, hebben we zo toch een aardig beeld. De 3-sfeer is de driedimensionale versie van het boloppervlak, zoals de bol weer de tweedimensionale versie van de cirkel is. Op de twee kaarten van de 3-sfeer kunnen we bijvoorbeeld duidelijk zien dat de 3-sfeer net als de bol gesloten is, want je kunt niet oneindig ver wegkomen van je beginpunt. Bovendien zijn alle paden tussen twee punten binnen de 3-sfeer met elkaar verwant. Om dit in te zien, redeneren we als volgt. Voor twee paden die helemaal binnen dezelfde kaart (massieve bol) liggen, is het duidelijk. Liggen de paden niet binnen één bol, dan kunnen we altijd twee andere kaarten van de 3-sfeer maken waarvoor dit wél het geval is. Het is namelijk niet wezenlijk dat je de 3-sfeer precies langs een ‘evenaar’ in twee kaarten knipt. Je kunt één kaart zo klein maken dat die helemaal buiten de twee gegeven paden ligt. De andere kaart bevat dan automatisch de paden allebei, en binnen die kaart kun je ze dus in elkaar vervormen.
De 3-torus
Ook de torus heeft een driedimensionaal broertje, de 3-torus, die we in figuur 5 in kaart hebben gebracht (op dezelfde manier als de 2-torus). De rechthoek is een kaart van de gewone torus zoals platlanders die zouden kunnen maken. De bedoeling is dat eerst de lange zijden aan elkaar geplakt worden. Je krijgt dan een cilinder waarvan de uiteinden gevormd worden door de overgebleven zijden. Plak je die ook aan elkaar, dan krijg je inderdaad een torus. Veel oude computerspelletjes speelden zich dus af op een torus, want daar kwam je beneden weer terug als je boven het scherm verliet en net zo voor opzij.
De kaart voor de 3-torus werkt op dezelfde manier: we nemen nu een driedimensionale rechthoek, dat wil zeggen een blok, en plakken boven aan onder, links aan rechts en achter aan voor. Stel dat je kamer een 3-torus was, dan ging de linker muur over in de rechter muur, als je recht naar voren kijkt zie je je rug, en een kraai die door de vloer vliegt komt door het plafond weer tevoorschijn, zie figuur 6.
Uit Poincarés vermoeden volgt dat er paden in de 3-torus moeten zijn met een gelijk begin- en eindpunt die niet met elkaar verwant zijn. Maar dat zie je ook direct, want net als bij gewone torus zit er een onzichtbaar gat in de 3-torus waar je paden omheen kunt winden. Denk bijvoorbeeld aan een pad dat door het plafond naar boven verdwijnt en dus via de vloer weer tevoorschijn komt, en dan weer bij het beginpunt eindigt.
Hoewel willekeurige driedimensionale ruimten erg moeilijk voorstelbaar zijn, is het verrassend dat er bij zo’n ruimte wel altijd kaarten te maken zijn. Deze kaarten lijken erg op die van de 3-sfeer, maar nu met twee massieve krakelingen in plaats van bollen. Helaas zijn deze kaarten niet gemakkelijk te lezen, omdat hun oppervlakken meestal op buitenissige manieren aan elkaar geplakt zijn.
Een van de dingen die het Poincaré-vermoeden zo moeilijk maken, is dat paden hopeloos in de knoop kunnen raken en nog erger, dat de ruimte zelf ‘geknoopt’ kan zijn. Het begrip ‘knoop’ is typisch voor drie dimensies: in één of twee dimensies bestaan geen knopen, omdat er niet genoeg ruimte is om een knoop te leggen. In vier of meer dimensies blijkt er te veel ruimte te zijn om een knoop nog vast te kunnen trekken en dan bestaan er dus ook geen knopen. De vier- of meer dimensionale versie van het Poincaré-vermoeden is daarom in feite makkelijker en kon Poincaré wél bewijzen. De hardnekkige driedimensionale versie kwam in het jaar 2000 op de lijst van ‘millennium problemen’, waarmee je een miljoen dollar kunt winnen. In 2002 publiceerde de Rus Grisja Perelman een bewijs op het internet. Het duurde een paar jaar voordat specialisten overtuigd waren van de correctheid van zijn bewijs. In 2006 kreeg Perelman de Fields Medal voor zijn werk, maar hij weigerde.
Het bewijs van Perelman
Grisja Perelman pakt het Poincaré-vermoeden aan door te laten zien dat je iedere driedimensionale ruimte in een aantal eenvoudigere meetkundige stukken kunt snijden. Binnen al deze stukken kun je (bijna) net zo ruimtemeetkunde doen met lijnen, afstanden, hoeken, vlakken enzovoort, als we gewend zijn. Het was al langer bekend dat het Poincaré-vermoeden waar is voor ruimten die zich zo gemakkelijk laten verdelen, maar het leek onwaarschijnlijk dat ook de ingewikkeldste geknoopte ruimten op deze manier te verdelen waren. Wat het nog moeilijker maakt, is dat er niet één meetkunde is die werkt op alle meetkundige ruimten. In twee dimensies is dit net zo: op een bol is prima meetkunde te doen, maar dat is niet de bekende vlakke meetkunde. Een driehoek tekenen met drie rechte hoeken is op een bol bijvoorbeeld geen enkel probleem; in het vlak lukt het niet. Voor driedimensionale ruimten spelen naast de ruimtemeetkunde die we kennen nog niet minder dan zeven andere typen meetkunde een rol.
Perelmans bewijs lijkt op het opblazen van een ballon. Geleidelijk blaast hij de ruimte op met de zogenaamde Ricci flow. Zo creëert hij gebieden die steeds meer op bekende typen meetkundige ruimten gaan lijken. Wat er mis kan gaan, is dat twee aangrenzende gebieden naar verschillende typen meetkundige ruimte streven. In dat geval barst de ruimte op de grens uiteindelijk uit elkaar. Met technisch heel subtiele chirurgie kan dit probleem voorkomen worden door de ruimte vlak voor het moment van barsten bij de grens open te snijden en er aan beide kanten massieve bollen of torussen in te naaien. Vervolgens wordt de Ricci flow opnieuw gestart en gaat de vorming van meetkundige stukken verder. Perelman laat zien dat je zo eindeloos door kunt gaan met opblazen en opereren, en dat je uiteindelijk inderdaad alleen maar bekende meetkundige stukken overhoudt, zodat het Poincaré-vermoeden dan bewezen is.
Zie ook:
- Grigori Perelman weigert Fields Medal (Kennislinkartikel)
- Grigori Perelman’s Beautiful Mind (een recensie van Gessen’s boek in The New York Times)