Al eeuwen worden mensen betoverd door de glinstering in diamanten. De Japanse wiskundige Toshikazu Sunada heeft de kristalstructuur van diamanten wiskundig geanalyseerd. Van alle mogelijke kristalstructuren – dat zijn er oneindig veel – is er slechts één die dezelfde bijzondere eigenschappen heeft als de diamant. Van dit kristal, door Sunada het ‘K4-kristal’ gedoopt, is echter onbekend of het in de natuur voorkomt. Sunada publiceert zijn bevindingen in het februari 2008 nummer van de Notices of the American Mathematical Society.

Knopen en lijnen

Een kristal is een hoeveelheid ordelijk gerangschikte atomen, moleculen of ionen. Van een kristal kun je een wiskundig model maken door hem als oneindige graaf te representeren: de atomen zijn de knopen van de graaf, de chemische verbindingen tussen de atomen zijn de lijnen van de graaf. Een kristal is nu opgebouwd uit een basisgraaf waarvan kopieën op een periodieke wijze aan elkaar gehangen worden. Er zijn dus twee patronen in een kristal: het patroon van de bindingen tussen de atomen en het periodieke patroon van de kopieën. Door het variëren van de basisgrafen en de manier waarop ze aan elkaar hangen, kun je oneindig veel kristallen beschrijven.

Twee bijzondere eigenschappen

De kristalstructuur van een diamant heeft twee speciale eigenschappen die de diamant onderscheiden van andere kristallen. De eerste eigenschap gaat over de ordening van de aan elkaar gehangen kopieën van de basisgrafen. De ene ordening vertoont meer symmetrie dan de andere. Wanneer je een a-symmetrische structuur vervormt zonder de lijnen in de graaf te verbreken zonder de periodiciteit te veranderen, krijg je in sommige gevallen een structuur die meer symmetrie bevat. Bij de kristalstructuur van een diamant heeft vervormen geen zin: welke vervorming je ook toepast, de structuur zal niet symmetrischer worden. Sunada spreekt van ‘maximale symmetrie’.

Een tweede speciale eigenschap van de diamant is wat Sunada ‘sterke isotropie’ noemt. Deze eigenschap is vergelijkbaar met de rotatie-eigenschap van een cirkel: het maakt niet uit hoe je een cirkel draait, het ziet er altijd hetzelfde uit. De kristalstructuur van een diamant heeft een soortgelijke eigenschap: wanneer je de graaf bekijkt vanuit de richting van één van zijn lijnen en het vervolgens roteert naar een richting van een andere lijn, dan zie je geen verschil.

Van alle kristallen is er slechts één ander kristal dat deze twee eigenschappen met de diamant gemeen heeft. Sunada heeft dit het K₄-kristal genoemd, omdat het gebaseerd is op de basisgraaf K₄, dat is de graaf met vier knopen waarbij elk tweetal knopen met een lijn wordt verbonden, zie bovenstaande afbeelding. Een grafische voorstelling van het K₄-kristal zie je hieronder.

Bestaat het K4-kristal echt?

Voor zover we weten, bestaat van het K₄-kristal alleen nog maar de wiskundige beschrijving. In de natuur is hij nog nooit aangetroffen. Maar er blijft hoop: in 1996 kregen Robert Curl, Harold Kroto en Richard Smalley de Nobelprijs voor chemie, omdat zij in 1990 de zogeheten ‘buckyball-kristallen’ hadden ontdekt. Misschien dat ook de K₄ ooit in de natuur wordt ontdekt.