Je leest:

De stelling van Jordan

De stelling van Jordan

Auteur: | 23 september 2007

Soms is een wiskundige stelling zo vanzelfsprekend dat niemand de moeite neemt hem te formuleren, laat staan te bewijzen. Dat gold lang voor het feit dat een gesloten kromme (zoals een cirkel, vierkant of ster) het vlak verdeelt in een binnen- en een buitengebied, en dat je niet van het ene in het andere gebied kunt komen zonder die kromme te snijden. De Fransman Camille Jordan (1838-1922) was een van de eerste wiskundigen die zich met dit soort ‘problemen’ bezighielden. Er bleek nog heel wat ingewikkelde wiskunde achter te zitten.

De vis in de doolhof van figuur 1 probeert zich voor de kat verscholen te houden. Kan de kat de vis pakken? Jordan, die als een van de eersten het principe van het binnen- en buitengebied voor een algemene klasse van krommen opmerkte, bewees: iedere enkelvoudig gesloten kromme verdeelt het vlak in precies twee gebieden, waarvan die kromme dan de gemeenschappelijke grens is. Bij ‘enkelvoudig gesloten kromme’ kun je denken aan elke (kronkel)lijn op papier die gesloten is en zichzelf niet doorsnijdt. Zo’n kromme noemen we een Jordan-kromme.

Figuur 1. De doolhof stelt een zak voor. Zit de vis in de zak, dan is hij veilig. Maar zit hij erbuiten, dan zal de kat hem ruiken, zoeken en verorberen. Is de vis veilig? (Klik op de afbeelding voor het antwoord.)

Lijnentrek en veelhoek

In dit artikel zullen we een idee geven van hoe je de stelling van Jordan kunt bewijzen. Omdat een Jordan-kromme erg ingewikkeld in elkaar kan zitten en het bewijs van de stelling van Jordan zelfs voor insiders knap lastig is, zullen we alleen relatief eenvoudige krommen bekijken, namelijk krommen die opgebouwd zijn uit stukjes rechte lijn. We omschrijven eerst nauwkeuriger wat voor soort krommen we daarmee bedoelen. Een lijnstuk is een stuk van een rechte lijn dat begrensd wordt door twee punten; die punten noemen we de eindpunten van het lijnstuk. Als je een aantal lijnstukken in het vlak achter elkaar legt, dan krijg je een lijnentrek; het eindpunt van ieder lijnstuk (behalve misschien het laatste) valt samen met het beginpunt van het volgende lijnstuk. Als ook nog het eindpunt van het laatste lijnstuk samenvalt met het beginpunt van het eerste lijnstuk, dan heb je een polygoon of veelhoek.

De twee gebieden waarin het vlak verdeeld zal worden, moeten aaneengesloten zijn, anders zouden we nog meer gebieden hebben. Dat aaneengesloten-zijn wordt vastgelegd in de volgende definitie: we zeggen dat een verzameling samenhangend is als je bij ieder tweetal verschillende punten van die verzameling een lijnentrek kunt maken die het ene punt als beginpunt heeft en het andere punt als eindpunt. In figuur 2 is het verschil tussen samenhangend en niet-samenhangend weergegeven.

Figuur 2. Een samenhangende en een niet-samenhangende verzameling.

Stelling van Jordan

We hebben nu voldoende gereedschap om de stelling van Jordan te formuleren: Een veelhoek J verdeelt het vlak in twee gebieden U en V. Die gebieden U en V zijn samenhangend. Iedere lijnentrek die een punt van U met een punt van V verbindt, moet J in ten minste één punt treffen en J is de gemeenschappelijke grens van U en V.

Camille Jordan (1838-1922)

Het bewijs

Bekijk figuur 3a: een enkelvoudig gesloten kromme J met binnengebied U en buitengebied V. Om Jordans stelling (voor ons speciale geval dat J uit rechte lijnstukken bestaat) te bewijzen, kiezen we eerst een lijnstuk van J uit, en noemen dat l. Het punt M is het midden van l. Om het punt M trekken we een cirkeltje dat alleen l snijdt, maar geen van de andere lijnstukken van de veelhoek. Het cirkelschijfje dat je zo krijgt, wordt door l in tweeën gedeeld. We kiezen een punt P in het ene deel en een punt Q in het andere deel. Zie figuur 3b.

Als je nu een willekeurig punt Z uit het vlak kiest dat niet op J ligt, dan kun je eerst via een lijnstuk tot dicht bij J komen zonder dat je J snijdt. Vervolgens ga je met een lijnentrek dicht langs J, maar zonder aan J te komen, tot je bij het cirkelschijfje komt. Omdat J een veelhoek is en omdat je dicht langs J loopt, kom je altijd een keer bij het cirkelschijfje uit. Als kroon op het werk voeg je nog één lijnstukje toe aan je lijnentrek om in P of in Q te komen. Zie figuur 3c.

Figuur 3a, b en c. De stappen van het bewijs van de stelling van Jordan.

We beschrijven nu wat de twee gebieden U en V zullen zijn. Neem een punt X dat niet op J ligt. Kun je X door een lijnentrek met P verbinden zonder ooit op J te komen, stop X dan in U. Kun je X door een lijnentrek verbinden met Q zonder op J te komen, stop X dan in V. Zoals we net hebben gezien, kun je ieder punt dat niet op J ligt met P of Q verbinden zonder dat je de veelhoek J snijdt. Dat betekent dat U, V en J samen het hele vlak opvullen. Ook zie je zo dat zowel U als V samenhangend is: om twee punten uit U te verbinden met een lijnentrek, ga je eerst van het ene punt naar P en dan van Q naar het andere punt. Verder is J de gemeenschappelijke grens van U en V, want ieder klein cirkeltje om een punt van J bevat punten zowel van U als van V.

Wat moeten we verder nog bewijzen? Alleen nog dit: er is geen lijnentrek van een punt uit U naar een punt uit V die J niet snijdt. Maar dat is nog niet zo eenvoudig.

De index van een punt

We gaan voor ieder punt Z, niet op J, een index definiëren. We kiezen eerst een assenstelsel en wel zó dat geen enkele verbindingslijn van twee hoekpunten van J evenwijdig is met de x-as. Dat kan omdat J maar eindig veel hoekpunten heeft; er zijn dus maar eindig veel richtingen verboden voor de x-as. Als nu Z een punt is dat niet op J ligt, trek dan een halflijn (of straal) mZ evenwijdig met de x-as en met Z als rechter eindpunt.

Figuur 4. De definitie van index: index(Z) = 0 en index(S) = 1.

Neem eerst even aan dat er op de halflijn mZ geen hoekpunt van J ligt. Zie figuur 4. Dan geldt dat index(Z) = 0 als het aantal snijpunten van mZ met J even is, en index(Z) = 1 als het aantal snijpunten oneven is. Als er een hoekpunt van J op mZ ligt, dan verplaatsen we de halflijn mZ evenwijdig een heel klein beetje naar boven of naar beneden (dat maakt niet uit); er ligt nu geen hoekpunt van J meer op de verplaatste halflijn en de index wordt berekend als boven. In figuur 5 zijn drie situaties getekend.

Figuur 5. Drie situaties waarbij mZ door een hoekpunt van J gaat. Verschuif mZ iets naar boven of naar beneden om de index van Z te berekenen.

In deze drie situaties maakt het voor de berekening van de index geen verschil of je de lijn mZ iets naar boven of iets naar beneden verschuift. Meer in het algemeen maakt het voor de berekening van de index geen verschil of je mZ naar boven of naar beneden schuift, zolang het punt Z de kromme J maar niet passeert. Daaruit volgt: als R en S het begin- en eindpunt zijn van een lijnstuk dat J niet snijdt, dan is index® = index(S). Maar het laatste resultaat kunnen we uitbreiden tot lijnentrekken: als de punten R en S het begin- en eindpunt zijn van een lijnentrek die geheel buiten J verloopt, dan geldt dat index® = index(S). Daarom is index(Z) = index(P) voor iedere Z in U en index(W) = index(Q) voor iedere W in V.

Uit de definitie van index (zie figuur 4) volgt bijna direct dat index(P) ongelijk is aan index(Q). Uit het voorgaande volgt nu dat er geen lijnentrek is met beginpunt in U en eindpunt in V die geheel buiten J verloopt; zo’n lijnentrek van een punt in U naar een punt in V moet J dus snijden. In het bijzonder is de vereniging van U en V (het hele vlak, minus J) niet samenhangend. Hiermee is het bewijs van de stelling voltooid. Er zitten toch nog veel subtiele kanten aan en je begrijpt nu misschien wel dat het bewijs voor de echte stelling van Jordan niet gemakkelijk is.

En de vis?

Bekijk nog eens de doolhof-puzzel in figuur 1. Kan de kat de vis ooit pakken? De zak is een Jordan-kromme, dus scheidt twee gebieden: binnen en buiten. De kat zit buiten, zijn index is 0. Om de index van de muis te bepalen, trek je een halflijn vanuit de vis, en tel je het aantal keren dat de halflijn de zak snijdt. Dat aantal is even, dus de vis heeft óók index 0. De vis is dus niet veilig, de kat zal dit smakelijke hapje spoedig verorberen.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 23 september 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.