Je leest:

De stelling van Desargues in breder perspectief

De stelling van Desargues in breder perspectief

Auteur: | 9 mei 2006

De stelling van Desargues is een stelling in het platte vlak. Het is echter mogelijk om deze stelling uit te breiden naar hogere dimensies. In dit artikel wordt uitgelegd wat hogere dimensies zijn en wat de uitbreiding van de stelling inhoudt. Tenslotte wordt iets uitgelegd over het bewijs van deze stelling.

Dimensies

Het begrip dimensie kan op vele manieren worden gedefinieerd. De meest bruikbare definitie in dit verband is het aantal coördinaten dat nodig is om een punt vast te leggen. Een vlak is bijvoorbeeld 2-dimensionaal. Er zijn immers 2 getallen nodig om aan te geven waar een punt in het vlak ligt, namelijk de afstand in x- en in y-richting van het punt tot een vaste oorsprong.

In een tweedimensionaal (“plat”) vlak zijn twee coördinaten (x- & y-coördinaten) nodig om de positie van een bepaald punt ten opzichte van het nulpunt aan te geven.

Platlanders

In 1884 schreef Edwin Abbott Abbott het boek ‘Flatland’ over de vierde dimensie. Het boek gaat over Vierkant, de verteller die ons, Ruimtelanders, uitlegt hoe de maatschappij in zijn tweedimensionale wereld, Platland, eruit ziet. Vierkant kan, omdat hij nooit meer dan twee dimensies heeft gezien, zich niet voorstellen hoe bijvoorbeeld een kubus eruit ziet, maar hij kan wel een aantal eigenschappen bedenken, die hij door logisch redeneren aan de weet komt, bijvoorbeeld het aantal ribben of hoe de uitslag van de kubus eruit ziet.

Als Bol op bezoek komt bij Vierkant in Platland, dan ziet Vierkant hem als een cirkel. Als Bol door Platland beweegt, dan ziet Vierkant eerst een punt, dan een steeds groter wordende cirkel, tot de cirkel ineens weer kleiner wordt en helemaal verdwijnt. Voor Vierkant is het heel moeilijk om zich voor te stellen dat er drie dimensies kunnen bestaan. Voor ons is het net zo moeilijk om in vier (of meer!) dimensies te denken.

Op dezelfde manier kunnen wij ons niet voorstellen hoe bijvoorbeeld een vierdimensionale kubus, de hyperkubus, eruit ziet, maar we kunnen door logisch na te denken wel eigenschappen ontdekken.

Op dezelfde manier kun je je ook voorstellen dat er nog hogere dimensies zouden kunnen zijn. Het doet er voor de wiskunde niet echt toe of de vierde dimensie in werkelijkheid bestaat: de vierde dimensie is een idee.

Simplices

Een begrip uit het idee over hogere dimensies is een simplex. Een simplex zou je kunnen definiëren als het simpelste object in een dimensie. Een punt is een 0-simplex. Het is immers het simpelste 0-dimensionale object. Een lijnstuk, dat vastgelegd is door 2 punten, is een 1-simplex. Drie punten die niet op één lijn liggen, een driehoek, vormen een 2-simplex. Nu valt iets op: in de dimensies 0, 1 en 2 bestaat het simpelste object uit een aantal punten dat één meer is dan het aantal dimensies. Dit gaat ook op voor hogere dimensies: een n-simplex bestaat altijd uit n+1 punten.

Dat het n-simplex inderdaad bestaat uit n+1 punten, is te begrijpen door te kijken hoe je het n-simplex maakt. Een driehoek maak je door eerst twee punten aan te wijzen, die per definitie op één lijn liggen, en dan nog een punt niet op die lijn te plaatsen. De drie punten liggen in één vlak. Om hiervan een driedimensionaal object te maken, moet je nog één punt buiten dat vlak plaatsen. Het is nu logisch dat er nog één punt moet komen buiten de 3-dimensionale ruimte waar het 3-simplex in ligt om een 4-simplex te vormen.

Stelling in hogere dimensies

Wat de stelling van Desargues in drie dimensies is, wordt omschreven in het Kennislink artikel Scholiere scoort met Desargues (zie de link onderaan). De stelling van Desargues kan in het algemeen als volgt worden omgeschreven:

Als van twee 2-simplices de verbindingslijnen van de overeenkomstige hoekpunten concurrent zijn dan liggen de snijpunten van de overeenkomstige zijden in dezelfde (2-1)-dimensionale ruimte.

Een 2-simplex is immers gewoon een driehoek en een 1-dimensionale ruimte is een lijn. Door n in plaats van 2 te schrijven wordt de stelling aanzienlijk algemener. De stelling luidt dan:

Als van twee n-simplices de verbindingslijnen van de overeenkomstige hoekpunten concurrent zijn dan liggen de snijpunten van de overeenkomstige zijden in dezelfde (n-1)-dimensionale ruimte.

Het op deze manier maken van een stelling is een trucje, nog geen bewijs. Deze stelling is vrij abstract, maar kijk eens wat er gebeurt als je voor n drie invult. De stelling luidt dan:

Als van twee viervlakken de verbindingslijnen van de overeenkomstige hoekpunten door één punt gaan dan liggen de snijpunten van de overeenkomstige zijden in één vlak.

Dit is het plaatje dat bij deze stelling hoort. De stelling in drie dimensies is vrij makkelijk te bewijzen, vooral omdat drie dimensies goed voor te stellen zijn.

Het bewijs in drie dimensies

Gegevens: 2 piramides ABCD en A’B’C’D’, zó dat AA’, BB’, CC’, en DD’ door één punt, namelijk O gaan.

Te bewijzen: alle snijpunten van overeenkomstige zijden liggen in één vlak

Bewijs: Dek in gedachten punt C even af. Er zijn nu twee driehoeken, ABD en A’B’D’, waarvan de verbindingslijnen door één punt gaan. Dus liggen de snijpunten van overeenkomstige zijden, de punten AD, BD en AB, op één lijn.

Dek nu in gedachten punt D af in plaats van C. Ook nu zijn er twee driehoeken, ABC en A’B’C’, waarvan de verbindingslijnen door één punt gaan, dus de snijpunten van overeenkomstige zijden, de punten AC, BC en AB, op één lijn liggen.

Deze twee lijnen snijden elkaar in het punt AB. Omdat de lijnen elkaar snijden, liggen de lijnen in één vlak. Er is dus nu al voor 5 van de 6 punten aangetoond dat ze in een vlak liggen, alleen van CD nog niet.

Dek tenslotte punt A af in plaats van de voorgaande twee punten. Weer zijn er twee driehoeken, BCD en B’C’D’, waarvan de verbindingslijnen door één punt gaan, dus de snijpunten van overeenkomstige zijden, de punten BC, BD en CD, op één lijn liggen.

Drie punten die op een lijn liggen, liggen per definitie in hetzelfde vlak. CD ligt dus in hetzelfde vlak als BC en BD, en dus ligt ook CD in het vlak met de andere snijpunten. Daarmee is de stelling voor n=3 bewezen.

Het bewijs voor hogere dimensies

Volledige inductie is een manier van bewijzen waarbij eerst bewezen wordt dat een stelling geldt voor één bepaalde waarde van n, en vervolgens dat áls de stelling geldt voor n, deze dan ook geldt voor n+1. Daaruit volgt dan dat de stelling voor alle waarden van n groter dan de waarde van het specifieke geval geldt, waarbij n natuurlijk een geheel getal is.

Zo’n bewijs is opgebouwd uit drie stappen: 1. De stelling geldt voor één bepaalde waarde van n0 2. Als de stelling geldt voor een willekeurige n, geldt die ook voor n+1 3. Uit 1 en 2 volgt dat de stelling geldt voor alle waarden van n groter dan n0. De methode van volledige inductie is ook gebruikt om de generalisatie van de stelling van Desargues voor alle n te bewijzen.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 09 mei 2006

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.