Je leest:

De speltheorie van de Sonttol

De speltheorie van de Sonttol

In de zestiende eeuw introduceerde de Deense koning een ingenieuze methode om belastingplichtige schippers de waarde van hun lading op te laten geven. Een speltheoretische analyse van die methode laat zien dat deze ook nu nog relevant is.

Omstreeks 1425 liet Erik van Pommeren, de Deense koning Erik VII, het fort Krogen bouwen bij de huidige stad Helsingör in Denemarken. Het fort stond op een landtong in de Sont (Öresund), de zeestraat tussen Denemarken en Zweden die hier maar vier kilometer breed is. Destijds had het fort als doel het heffen van tol op buitenlandse schepen die door de straat voeren. De Sonttol werd geheven van 1429 tot 1857 en was eeuwenlang de belangrijkste inkomstenbron voor de Deense kroon. Aanvankelijk ging het om een vast bedrag per schip, maar in 1567 introduceerde koning Frederik II een ad valorem belasting (belasting over de waarde van de lading).

Vanuit kasteel Kronborg bij de Deense plaats Helsingör werd eeuwenlang gecontroleerd of schepen wel hun tol betaalden op de smalle waterweg tussen Denemarken en Zweden; de zogeheten Sonttol. (Bron afbeelding: Sontregisters)

Die ad valorem belasting bedroeg vervolgens steeds zo’n een à twee procent van de waarde van de lading. Het is voor de belastingautoriteit geen eenvoudige opgave om de waarde te bepalen van de vracht van een schip. De meest simpele benadering is om een schipper er gewoon naar te vragen. Maar natuurlijk gaat die dan beweren dat zijn vracht vrijwel waardeloos is. De Denen wisten nog niets van speltheorie, laat staan van mechanism design, de tak van de speltheorie waarmee dergelijke problemen in de laatste decennia worden opgelost, en die een paar maanden geleden nog leidde tot de toekenning van de Nobelprijs Economie aan Hurwicz, Maskin en Myerson.

Toch kwamen ze met een bijzonder slimme oplossing. Een passerende schipper werd gevraagd naar de waarde van zijn vracht, en in principe werd op basis van die opgegeven waarde belasting geheven. Maar de koning behield zich het recht voor om de lading op te kopen tegen de opgegeven waarde. Wie een te hoge waarde opgaf, liep het risico om te veel belasting te betalen. Maar wie een te lage waarde opgaf, liep het risico dat de koning de vracht voor een prikje op de kop zou tikken.

In het rode cirkeltje links op het kaartje ligt de Sont, de strategisch gelegen zeestraat tussen Denemarken en Zweden.

Zelf opgegeven waarde

De methode van de Denen vond navolging. Sun Yat-Sen, de eerste president van China, stelde in 1905 een grondbelasting voor volgens hetzelfde principe.Ook in andere situaties is de methode gebruikt, onder meer bij invoer- en uitvoerrechten. De belangrijkste vragen voor een econoom zijn natuurlijk de volgende. Geeft dit mechanisme de belastingbetaler een prikkel om de juiste waarde op te geven? Kan het worden gebruikt om de gewenste belastingvoet te implementeren? Door middel van een speltheoretische benadering kan geanalyseerd worden of de intuïtie van Frederik II, Sun Yat-Sen en anderen juist was.

Een model van de Sonttol

Het mechanisme van de Sonttol kan worden gemodelleerd als een spel met asymmetrische informatie. Er zijn twee spelers, de schipper en (een vertegenwoordiger van) de koning. De werkelijke waarde v van de vracht is een toevalsvariabele die wel bekend is bij de schipper, maar niet bij de koning. De verwachte waarde bedraagt ì. Voor het gemak kan ervan uitgegaan worden dat de koning geen poging doet om een schatting van de werkelijke waarde te maken, bijvoorbeeld door het schip te laten inspecteren. De schipper is als eerste aan zet en moet een waarde m opgeven, die vanzelfsprekend niet gelijk hoeft te zijn aan de werkelijke waarde v.

Vervolgens beslist de koning of hij de aangifte accepteert en dus belasting heft over de waarde m, of dat hij de aangifte afwijst en de lading opkoopt tegen de prijs m. Bij belastingheffing is de opbrengst voor de koning gelijk aan tm, waarbij t staat voor het belastingtarief dat tussen 0 en 1 ligt. Kiest de koning voor opkopen, dan wordt hij de eigenaar van de vracht. Zijn opbrengst is dan gelijk aan de werkelijke waarde v minus de prijs m. Tabel 1 vat de uitkomsten voor beide spelers samen. De koning streeft naar een zo hoog mogelijke opbrengst, de schipper naar zo laag mogelijke kosten.

In een Nash-evenwicht is de strategie van elke speler een optimale keuze, gegeven het gedrag van de andere speler. Er is zo’n evenwicht waarin de koning de vracht opkoopt met kans p = t/(1+t), ongeacht de aangifte van de schipper. De waarde die de schipper opgeeft is dan altijd gelijk aan m = v/(1+t), minder dan de werkelijke waarde dus. Gegeven deze strategie van de schipper heeft de koning een opbrengst van tm = tv/(1+t) als hijbesluit belasting te heffen. Zijn opbrengst als hij besluit de vracht op te kopen, is precies dezelfde: v-m = tv/(1+t). Gegeven wat de schipper doet, maakt het voor de koning dus niet uit welke keuze hij maakt. Daarom is hij bereid de strategie te gebruiken die hierboven is geschetst.

Gegeven de strategie van de koning weet de schipper dat zijn kosten v-m zijn met kans p, en tm met kans 1-p. Met p = t/(1+t) betekent dat dat de verwachte kosten tv/ (1+t) zijn. Belangrijk om op te merken is dat die verwachte kosten onafhankelijk zijn van m. Gegeven wat de koning doet, maakt het voor de schipper dus niet uit welke aangifte hij doet. Daarom is hij ook bereid de strategie te gebruiken die hierboven wordt geschetst. Dit is dus een Nash-evenwicht: gegeven de strategie van de koning, kiest de schipper de best mogelijke strategie, en andersom.

De koning weet wat ’ie doet

Nu zijn er in dit spel nog veel meer Nash-evenwichten. Die zien er aanzienlijk ingewikkelder uit dan het scheidend evenwicht dat hierboven is beschreven. Maar wat al die evenwichten gemeen hebben, is dat de verwachte opbrengst van de koning, en dus de verwachte kosten van de schipper, altijd precies tì/(1+t) zijn. De koning kan deze wetenschap gebruiken en het belastingtarief t zodanig vaststellen dat hij precies de gewenste effectieve belastingvoet bereikt.

…De koning weet de verwachte kosten van de schipper en kan zodoende het belastingtarief t zodanig vaststellen dat hij precies de gewenste effectieve belastingvoet bereikt…

Stel dat de koning bij volledige inform

Zo stabiel als een huis

In het evenwicht hierboven betaalt de schipper zelfs exact de gewenste belasting. Het is niet nodig dat de overheid de belastinggrondslag onderzoekt en bijvoorbeeld de lading van een schip laat inspecteren en taxeren. Door haar eenvoud kan de strategie gemakkelijk door de koning worden gespeeld, of worden opgelegd aan een belastinginspecteur. Ook hangt de strategie niet af van de kansverdeling van werkelijke waarden. De strategie is dus stabiel over de tijd en ongevoelig voor veranderende omstandigheden.

Natuurlijk zitten er in de praktijk haken en ogen aan een dergelijke methode. Er komt nogal wat bureaucratische rompslomp bij kijken wanneer een belastinginspecteur een vast percentage van alle ladingen moet opkopen. Al die goederen moeten worden opgeslagen en vervolgens weer worden doorverkocht. Met andere woorden, de waarde zou uiteindelijk voor de koning wel eens een stuk lager kunnen zijn dan voor de schipper. Anders dan hierboven is er dan geen sprake van een nulsomspel. Het mooie is echter dat dat niet uitmaakt. Haan et al. (2008) laten zien dat de koning ook in dat geval precies de gewenste netto-opbrengst kan genereren.

…Er komt nogal wat bureaucratische rompslomp bij kijken wanneer een belastinginspecteur een vast percentage van alle ladingen moet opkopen. Al die goederen moeten worden opgeslagen en vervolgens weer worden doorverkocht…

Andere situaties met zelf opgegeven waarde

De lessen van de Sonttol kunnen ook in andere situaties worden toegepast. Stel bijvoorbeeld dat twee zakenpartners een gezamenlijke onderneming willen beëindigen. Het enige probleem is het vaststellen van een geschikte prijs. Stel dat partner B beter geïnformeerd is over de werkelijke waarde. Partner A kan dan aan partner B vragen een prijs voor te stellen, waarbij A vervolgens het recht heeft om zijn eigen deel voor die prijs aan B te verkopen, of juist het deel van B tegen die prijs aan te schaffen. In de literatuur staat dit bekend als een shotgun-clausule.

Precies hetzelfde mechanisme kan ook gebruikt worden bij het beëindigen van een publiek-private samenwerking, waarbij de private partij beter geïnformeerd is over de waarde van het project dan de overheid. Dezelfde logica blijkt ook van toepassing bij aangiftes voor inkomstenbelasting. Stel dat een belastingbetaler een inkomen v heeft en een aangifte m doet. Accepteert de belastingdienst de aangifte, dan is de belastingaanslag tm, waarbij voor het gemak wordt uitgegaan van een proportionele belasting.

…De lessen van de Sonttol kunnen ook op de belastingaangifte worden toegepast…

De belastingdienst kan echter ook besluiten de aangifte te controleren en zelf de werkelijke waarde v te bepalen. Dat betekent extra kosten voor de belastingdienst, een belastingaanslag van tv, en een boete voor de belastingbetaler wanneer v groter blijkt dan m. Deze situatie kan eenvoudig worden gevat in een spel dat sterk lijkt op dat in Tabel 1. Met behulp van een soortgelijke analyse kan worden aangetoond dat ook in dat geval de belastingdienst de gewenste effectieve belastingvoet kan implementeren door simpelweg een vast percentage van de aangiftes te controleren, willekeurig en niet afhankelijk van het opgegeven inkomen.

Conclusie

In de zestiende eeuw introduceerde koning Frederik II van Denemarken een ingenieuze methode om belasting te heffen. Die methode leidt er niet toe dat belastingplichtigen eerlijk de werkelijke waarde van hun goederen opgeven, zoals door beoefenaars van mechanism design wordt vereist. Maar de methode impliceert wel dat gemiddeld genomen de gewenste belastingvoet geïmplementeerd kan worden. Bovendien is de methode eenvoudig en kan zij simpel worden uitgevoerd, zonder de noodzaak van kostbare inspecties. Naast belastingen als de Sonttol zijn ook andere toepassingen beschreven van hetzelfde mechanisme.

Steeds gaat het om een situatie met twee spelers, van wie er één volledig geïnformeerd is over een bepaalde waarde, en de ander in het geheel niet. Telkens blijkt de niet-geïnformeerde partij gebruik te kunnen maken van een mechanisme dat lijkt op dat van de Sonttol, en steeds blijkt zij dezelfde opbrengst te kunnen behalen, ongeacht het Nash-evenwicht dat gespeeld wordt. Natuurlijk kleven er ook nadelen aan deze methode. Bij een belasting als de Sonttol moet de overheid in sommige gevallen de lading opkopen.

Kasteel Kronborg bij de Deense plaats Helsingör zoals het er tegenwoordig bijligt.

Bij een grond- of onroerendgoedbelasting kunnen er morele bezwaren zijn tegen de dreiging van het opkopen van iemands land of woning, zeker wanneer dit, zoals in dit verhaal, op willekeurige wijze gebeurt en niet als boete voor een onjuiste belastingaangifte. Belastingplichtigen raken echter niet zomaar hun bezit kwijt; er staat ook een vergoeding tegenover. De Denen hanteerden dus een uitermate slim systeem om passerende schepen het gewenste tolbedrag te ontfutselen. Dat ze dat systeem vele eeuwen voor de ontwikkeling van de speltheorie bedachten, maakt die prestatie des te opmerkelijker.

Literatuur

Haan, M.A., P. Heijnen, L. Schoonbeek en L.A. toolsema (2008) Sound taxation? On the use of self-declared value. CeNDEF Working paper, 08-02, universiteit van amsterdam. Menefee, S.P. (1996) The Sound Dues and access to the Baltic Sea. In: Platzöder, R. en P. Verlaan (red.) The Baltic Sea: New Developments in National Policies and International Cooperation. Den Haag: Kluwer Law international, 101-132.

Dit artikel is een publicatie van Economisch Statistische Berichten (ESB).
© Economisch Statistische Berichten (ESB), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 30 mei 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.