Je leest:

De rekenfouten van Leonardo da Vinci

De rekenfouten van Leonardo da Vinci

Auteur: | 20 februari 2012

Vorig jaar maakte de Belgische wiskundige Dirk Huylebrouck een tien jaar oude ontdekking bekend van kunstenaar Rinus Roelofs. Er bleek dat Leonardo da Vinci, het genie uit de renaissance, een meetkundige fout had gemaakt. Nu brengt Huylebrouck twee rekenkundige fouten aan het licht. De ene werd recent gepubliceerd door twee Hongaarse ingenieurs, maar de andere mag hij op eigen naam schrijven.

Bladzijde 75R uit Codex Madrid I, een verzameling teksten van Leonardo da Vinci. Er staan twee rekenfoutjes, in spiegelschrift natuurlijk.

Hiernaast zie je een bladzijde uit Da Vinci’s Codex Madrid I. Deze verzameling vellen dateert uit de jaren 1490, maar werd pas ontdekt in 1966; samen trouwens met de zogenoemde Codex Madrid II. Er staan voornamelijk uitgewerkte tekeningen in van allerlei mechanismen, met een korte bespreking.

Sommigen denken dat het Leonardo’s bedoeling was deze bladzijden te verwerken in een afzonderlijk boek over het ontwerpen van machines. Anderen menen dat de codex paste in zijn plan om een grootse encyclopedie te maken op basis van tekeningen. Hij koesterde dit idee zijn hele leven, en misschien passen ook andere geschriften van hem hierin: er zijn ongeveer 7000 bladzijden van zijn hand bekend. Een beroemdere codex is die van Leicester, waarvoor Bill Gates in 1994 30,8 miljoen dollar neertelde.

Van de betreffende pagina uit de Codex Madrid I nemen we de tabel aan de linkerkant van het blad onder de loep, in het midden onder de cirkel of bol. Gespiegeld zie je dat de getallen achtereenvolgende verdubbelingen van 2 betreffen. Maar Leonardo gaat in de fout bij het getal 4096: hij verdubbelt het tot 8092 (in plaats van 8192). Daarna zijn de verdubbelingen opnieuw correct, als rekening wordt gehouden met de eerder gemaakte fout.

Bij het achtereenvolgens verdubbelen van 2 gaat Leonardo in de fout na het getal 4096.

Het gaat hier om een ondubbelzinnig rekenfoutje, dat overigens niet in de schoenen van slordige kopiisten geschoven kan worden. Want het foutje staat in het (gespiegelde) handschrift van Da Vinci zelf. Dat het nu pas – vijfhonderd jaar na Da Vinci’s dood – werd ontdekt, is wellicht een gevolg van de late ontdekking van het manuscript, nauwelijks vijftig jaar geleden.

Krachten en knooppunten

Ik merkte de verdubbelingsfout op bij het lezen van een publicatie van de Hongaarse ingenieurs Tibor Tarnai (tevens een wiskundige) en András Lengyel van de Universiteit voor Technologie en Economie in Boedapest. Zij hadden dit rekenfoutje zelf niet opgemerkt, maar wel een andere fout bij de tekening op dezelfde pagina, die de krachten voorstelt die op een stelsel van stangen inwerken.

Het onderzoek van Tarnai en Lengyel is vrij technisch, maar de essentie van de fout kan eenvoudig worden ingezien. Stel dat een kracht van 1 eenheid (wat de eenheden zijn, doet er hier niet toe) onderaan op het voorgestelde stelsel van stangen of kabels met lengte 6 wordt uitgeoefend zodat het midden over een afstand 1 doorbuigt. Het stelsel heeft 9 scharnierende knooppunten, die Tarnai en Lengyel in een schema nummerden.

Leonardo’s stangenstelsel met het schema van Tarnai en Lengyel.

Kijk nu eens naar het eerste knooppunt. Omdat de naar onderen trekkende kracht links en rechts door de naar links en rechts wijzende stangen erboven moet worden opgevangen, moet links en rechts een kracht van een halve eenheid worden gecompenseerd in de stangen. Omdat nu een rechthoekige driehoek kan worden opgesteld met zijde 1 (de doorbuiging naar beneden) en schuine zijde 6, zal de kracht van 1/2 ook met een factor 6 worden vermenigvuldigd en dus 3 bedragen. In het doorbuigende knooppunt 1 oefenen zich dus twee zijdelingse krachten van 3 uit naar elke kant.

Op die manier verspreidt de kracht zich doorheen het stelsel met een factor 3, en daar was het Leonardo om te doen: een kleine kracht kan enorme gevolgen teweegbrengen. Volgens Tarnai en Lengyel vergiste hij zich echter in het cijferwerk, want het uiteindelijke resultaat moet niet 19.530 zijn, maar 19.683, dat is 39. Zonder het na te rekenen kun je trouwens al zien dat de vierde macht fout is: er staat 80 terwijl het 81 (= 9 × 9 = 34) moet zijn.

Tarnai en Lengyel besluiten de vergelijking van hun berekeningen met de getallen voorgesteld door Leonardo met de woorden: “de reden voor deze verschillen is onbekend”. Ze hebben het moeilijk om de fout te aanvaarden, misschien ook omdat ze de andere rekenfout met de verdubbelingen niet hebben opgemerkt.

“Deze kleine onnauwkeurigheden dwingen ons ertoe het evenwicht in Leonardo’s structuur in detail te analyseren”, stellen ze in hun publicatie. In een nauwkeurigere berekening beschouwden ze alle knooppunten en standen in hun exacte posities. Als je je nog wat herinnert van driehoeksmeetkunde, zou je het schema kunnen narekenen (de getallen werden afgerond tot de eenheid), al deden de auteurs zelf een beroep op een computerprogramma.

Een nauwgezettere narekening van Leonardo’s schema door Tarnai en Lengyel.

Maar nog steeds komen niet alle getallen overeen met die van Leonardo. De factor waarmee de kracht zich exponentieel doorheen het stelsel verplaatst bleek nu 3,042555… (dat is, 1/sin(2φ) wanneer sin(φ) = 1/6) in plaats van 3, de waarde die Leonardo vooropstelde. Misschien betroffen het wel experimentele opmetingen, maar met welke instrumenten had Leonardo die dan verricht? De ingenieurs rekenden ook deze mogelijkheid na, door een (theoretisch) model in staal te beschouwen en daarna door zelfs de invloed van warmte na te gaan.

Kleine fout

De rekenfout met de machten van 3 is op zich een ‘kleine fout’, stellen Tarnai en Lengyel. Zoals veel vraagstukken van Leonardo biedt het krachtenstelsel van de openingsfiguur vooral een mooie wetenschappelijke uitdaging, zelfs vandaag, vijfhonderd jaar na datum, want een kleine kracht laat zich door een vernuftig systeem exponentieel vergroten.

Bovendien staan er in de 192 bladzijden van de Codex Madrid I nog twee ingewikkelde rekenkundige bewerkingen: 3 × 62 = 108, …, 3 × 65 = 23.328, en 242 = 576, …, 248 = 110.075.314.176 en ze zijn beide correct. Ook een berekening van machten van 4 voerde Leonardo wel correct uit. Op bladzijde 280R van de zogenoemde Codex Arundel (circa 1480-1518) staat inderdaad 42 = 16, …, 46 = 4.096, 47 = 16.384, …, 411 = 4.194.304. Hier maakt Leonardo dus wel de juiste overgang van 4.096 naar 16.384. Maar de Nederlandse wiskundige kunstenaar Rinus Roelofs merkte op bladzijde 32R van dezelfde codex helaas ook een deling op van 36 door 4 die 7,5 geeft (in plaats van 9).

Leonardo’s helikopter.

Dyslexie

En er waren voorheen ook al andere euvels aan de oppervlakte gekomen. Zo wees architect Patrick Labarque erop dat Leonardo’s ‘helikopter’ nooit zou kunnen vliegen wegens gebrek aan een tegenschroef of rotor, terwijl websites wijzen op andere onnauwkeurigheden in zijn machineontwerpen, zoals in de bekende ‘tank’. Ook zijn anatomische tekeningen blijken foutjes te bevatten, zoals die van een menselijk hart met slechts twee kamers.

En al in 1988 concludeerden ‘psychohistorici’ dat Leonardo da Vinci aan dyslexie leed, gebaseerd op veel minder hard bewijsmateriaal. In de literatuur over Leonardo waren toen al enkele simpelere rekenfoutjes bekend uit Leonardo’s dagboeken. Zo staat ergens dat 25 + 2 + 16 + 6 + 1 = 48, alsook een tafel van vermenigvuldiging van 6 die fout loopt bij 6 × 34 = 104, waarna deze fout wordt doorgevoerd tot en met 6 × 50 = 200.

Nu worden dus nog twee ingewikkelde foutjes aan het lijstje toegevoegd. Als die het vermoeden van dyslexie zouden bijtreden, laat het dan een aanmoediging zijn voor jongeren die daarmee worstelen. Misschien schuilt er ook een Leonardo da Vinci in hen…

Bekijk hier een filmpje waarin Dirk Huylebrouck uitlegt wat hem zo fascineert aan Da Vinci’s gecijfer.

Meer over Leonardo da Vinci op Kennislink:

Oeps: Onbekende tag `feed’ met attributen {"url"=>"https://www.nemokennislink.nl/kernwoorden/leonardo_da_vinci.atom", “max”=>"6", “detail”=>"minder"}

Dit artikel is een publicatie van EOS Magazine.
© EOS Magazine, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 20 februari 2012

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.