Je leest:

De regelmaat van veelvlakken

De regelmaat van veelvlakken

Auteurs: en | 1 oktober 2002

Pythagoras, Plato, Archimedes en Kepler verwonderden zich er al over: hoe prachtig regelmatig veelvlakken in elkaar kunnen zitten. Ongeslagen aan de top staan wat dat betreft de Platonische lichamen; in dit artikel bekijken we waarom. Vervolgens nemen we een kijkje in de subtop waar regelmaat ook uitbundig voorhanden is.

Veelvlakken

Veelvlakken zijn ruimtelijke objecten die alleen platte zijvlakken hebben. Cilinders en bollen zijn dus geen veelvlakken, balken en piramides zijn het wel. Waar de zijvlakken aan elkaar grenzen, zitten de ribben van het veelvlak, en waar de ribben elkaar tegenkomen, zitten de hoekpunten.

Een belangrijk begrip bij veelvlakken is convexiteit. Simpelweg zou je kunnen zeggen dat een veelvlak convex is als er geen deuken in zitten. Iets nauwkeuriger gezegd: als je tussen twee punten van een convex veelvlak een touwtje strak spant, dan zit dat touwtje overal tegen het veelvlak geklemd. Het sterveelvlak in de figuur hieronder is een voorbeeld van een niet-convex veelvlak.

…en regelmaat

Bij het woord regelmaat denk je waarschijnlijk eerder aan dingen als een hartslag of een uitbetaling, dus aan zaken die zich herhalen. Als we van een figuur of een vorm zeggen dat hij regelmatig is, dan heeft dat doorgaans met symmetrie te maken. Bijvoorbeeld: ‘die persoon heeft een mooi regelmatig gezicht’ wil zeggen dat diens gezicht symmetrisch is, oftewel dat het gezicht er gespiegeld net zo uitziet als in het echt. Op dezelfde manier kun je zeggen dat een vierkant een behoorlijk regelmatige figuur is, je kunt hem namelijk spiegelen in vier verschillende assen, en draaien over hoeken van 90, 180 en 270 graden, waarbij hij er elke keer weer precies hetzelfde uitziet. En zo is de bol het summum van regelmaat met zijn eindeloze aantal draaiassen, spiegelassen en spiegelvlakken.

Het bekendste veelvlak is ongetwijfeld de kubus. De kubus is bijzonder regelmatig: hij ziet er maar liefst op 48 manieren precies hetzelfde uit als zichzelf. Je kunt hem namelijk spiegelen in zes verschillende vlakken, in drie assen en in het middelpunt; je kunt hem draaien om drie assen en om zijn vier lichaamsdiagonalen. Steeds ziet hij er weer hetzelfde uit.

Regelmaat en congruentie

Het is in de wiskunde betrekkelijk modern om symmetrie te bekijken vanuit spiegelingen en draaiingen van het hele object. Deze benadering is geïntroduceerd in 1872 door Felix Klein en legt een duidelijk verband tussen meetkunde en algebra. De interesse voor regelmatige veelvlakken stamt echter uit een tijd dat de symmetrie bekeken werd als de gelijkheid van afzonderlijke onderdelen van het object. Zo zou je de symmetrie van een gezicht ook kunnen onderzoeken door linker en rechter ogen, oren, wangen, neusvleugels, enzovoort met elkaar te vergelijken.

Laten we op die ‘ouderwetse’ manier de regelmaat van de kubus eens bekijken. Welke onderdelen van de kubus zijn gelijk aan elkaar? Om te beginnen kijken we naar de zijvlakken afzonderlijk. In elk zijvlak zijn de zijden gelijk aan elkaar, en ook de hoeken. Dit kunnen we formuleren als:

1. De zijvlakken zijn regelmatige veelhoeken. Vergelijken we de zijvlakken met elkaar, dan stellen we vast dat die allemaal gelijk zijn van vorm en afmeting, ofwel:

2. De zijvlakken zijn congruent. Alle ribben van de kubus zijn gelijk aan elkaar, ze zijn immers allemaal even lang. Dit hoeven we niet apart te vermelden, het volgt namelijk al uit 1 en 2.

Tenslotte de hoekpunten. Wanneer zijn twee hoekpunten eigenlijk gelijk? In het platte vlak kun je hoeken opmeten om te zien of ze aan elkaar gelijk zijn, terwijl dat in de ruimte veel gecompliceerder is. Maar om te zien of twee hoeken in het platte vlak gelijk zijn, kun je ze ook gewoon op elkaar leggen; bedekken ze elkaar precies, dan zijn ze gelijk. Precies zo doe je het in de ruimte. Twee ruimtelijke hoeken zijn gelijk als ze precies in elkaar passen, ofwel: als ze congruent zijn. Bij de hoekpunten van de kubus is dit duidelijk het geval:

3. De hoekpunten zijn congruent. Het voordeel van deze ‘ouderwetse’ benadering is, dat hij eenvoudige criteria oplevert die je bij andere veelvlakken gemakkelijk kunt nagaan. De gebruikelijke definitie van regelmatig veelvlak is hierop gebaseerd. Voor het vervolg leggen wij hem hier vast:

Definitie Een regelmatig veelvlak is een veelvlak waarvoor geldt: 1. de zijvlakken zijn regelmatig 2. de zijvlakken zijn congruent; 3. de hoekpunten zijn congruent; 4. het veelvlak is convex.

Figuur 2. Pyrietkristallen met een dodecaëder-vorm

Regelmatige veelvlakken

De kubus is niet het enige regelmatige veelvlak. Neem maar vier gelijkzijdige driehoeken en maak daarvan een driehoekige piramide. Het resultaat is een regelmatig veelvlak met vier hoekpunten, dat bekend staat als het regelmatig viervlak of de tetraëder. De naam tetraëder stamt uit het Grieks; ‘tetra’ betekent ‘vier’ en ‘hedron’ is een ‘vlak’. Die Griekse naam is niet toevallig, de Grieken gingen ons namelijk voor in de studie van veelvlakken.

Latere schrijvers beweren dat Pythagoras (rond 550 voor Christus) drie regelmatige veelvlakken kende. Dat waren de kubus, de tetraëder en het regelmatige twaalfvlak of dodecaëder (‘dodeka’ is ‘twaalf’). De dodecaëde is opgebouwd uit twaalf regelmatige vijfhoeken; in elk hoekpunt komen er drie bij elkaar. Waarschijnlijk had men de dodecaëder leren kennen van de pyrietkristallen die in Zuid-Italië veel voorkomen, zie figuur 2.

Plato

Zo’n 150 jaar later heeft Plato (427-347 voor Christus) het over vijf regelmatige veelvlakken. Behalve de drie van Pythagoras waren dat het regelmatige achtvlak en twintigvlak, respectievelijk de octaëder en de icosaëder (‘okto’ is ‘acht’, ‘eikosi’ = ‘twintig’). In figuur 3. zie je ze alle vijf afgebeeld.

Voor Plato lag in deze vijf regelmatige veelvlakken de essentie van de gehele natuur besloten. Hij bracht ze in verband met de vier elementen: vuur, lucht, water en aarde. De tetraëder stond voor vuur vanwege de scherpe punten. De icosaëder stond voor water vanwege de stompe (= gladde) hoeken. Lucht zit tussen water en vuur, daarom is lucht de octaëder die immers tussen de tetraëder (drie driehoeken in een hoekpunt) en de icosaëder (vijf driehoeken in een hoekpunt) in zit. Tenslotte stond de kubus voor aarde, omdat hij stevig als een berg is. De overblijvende dodecaëder stond voor het hemelgewelf, omdat hij er het meest bolvormig uitziet. Sindsdien worden deze vijf veelvlakken de Platonische lichamen of Platonische veelvlakken genoemd.

Figuur 3. Plato’s elementen en lichamen volgens Kepler.

De vijf Platonische lichamen

Terwijl er in het platte vlak een eindeloze rij van regelmatige veelhoeken is (gelijkzijdige driehoek, vierkant, regelmatige vijfhoek, zeshoek, enzovoort), zijn er in de ruimte maar vijf regelmatige veelvlakken. Dat er niet meer zijn, blijkt door de mogelijkheden systematisch af te zoeken.

In een hoekpunt moeten minstens drie zijvlakken bij elkaar komen. Volgens eis 3 moet elk hoekpunt hetzelfde zijn, dus we moeten in een keer vastleggen hoeveel zijvlakken er per hoekpunt zullen zijn. Stel je neemt drie zijvlakken in een hoekpunt, zie figuur 4. Neem je driehoeken, dan krijg je de tetraëder, neem je vierkanten, dan krijg je de kubus en neem je vijfhoeken, dan krijg je de dodecaëder. Neem je zeshoeken, dan blijven alle zijvlakken in het platte vlak liggen.

Figuur 4. Drie driehoeken, drie vierkanten, drie vijfhoeken en drie zeshoeken

Je kunt ook vier zijvlakken per hoekpunt nemen, zie figuur 5. Doe je dat met driehoeken, dan krijg je de octaëder, doe je dat met vierkanten, dan kom je niet meer uit het platte vlak.

Figuur 5. Vier driehoeken, vier vierkanten

De laatste mogelijkheid is vijf zijvlakken per hoekpunt, zie figuur 6. Dat kan alleen met driehoeken en dat levert de icosaëder.

Figuur 6. Vijf driehoeken, vijf vierkanten

Bijna regelmatig

De vijf Platonische lichamen zijn niet de enige veelvlakken waar interessante symmetrie in zit. Veel veelvlakken voldoen wel aan de meeste eisen uit onze definitie, maar niet aan alle tegelijk. Afhankelijk van de eisen waar ze wel aan voldoen, zijn ze ingedeeld in families met illustere namen, zoals de Archimedische lichamen, de Deltavlakken, de Catalan-veelvlakken en de Kepler-Poinsot-sterren. Om je een indruk te geven van de vele mogelijkheden laten we uit elk van deze families een voorbeeld zien.

Zijvlakken niet regelmatig

In figuur 7 zie je de deltoïdicositetraëder, opgebouwd uit congruente vliegers waarvan er soms drie en soms vier in een hoekpunt samenkomen. Het is een van de dertien zogenaamde Catalan-veelvlakken, genoemd naar Eugene Charles Catalan, die ze in de negentiende eeuw als eerste beschreef.

De Catalan-veelvlakken zijn convexe veelvlakken, met congruente zijvlakken die niet regelmatig hoeven te zijn. De hoekpunten zijn niet congruent, maar wel zijn ze regelmatig in de volgende zin: de ribben die er samenkomen maken onderling steeds dezelfde hoek. De Catalan-veelvlakken voldoen aan de eisen 2 en 4.

Figuur 7. De deltoïdicositetraëder

De familie van de Archimedische lichamen bestaat uit dertien convexe veelvlakken, die zijn opgebouwd uit regelmatige veelhoeken. Elk hoekpunt is op dezelfde manier samengesteld. Uit deze familie zie je in figuur 8 de zogenaamde afgeknotte icosaëder, bekend van het patroon van de voetbal (hij wordt daarom ook wel de buckyball genoemd). Hij is opgebouwd uit vijfhoeken en zeshoeken, in elk hoekpunt komen twee zeshoeken en een vijfhoek bij elkaar. De Archimedische lichamen voldoen aan de eisen 1, 3 en 4.

Figuur 8. De afgeknotte icosaëder

Hoekpunten niet congruent

Welke convexe veelvlakken kun je maken met congruente regelmatige zijvlakken? Dat blijken er meer dan honderd te zijn. Beperk je je tot gelijkzijdige driehoeken, dan zijn het er nog maar minder dan tien, de deltavlakken geheten. Drie heb je er in het voorafgaande leren kennen: de tetraëder, de octaëder en de icosaëder. In figuur 9 zie je een deltavlak met zes zijvlakken: de driehoekige dipiramide. Het is leuk de andere zelf te vinden. De deltavlakken voldoen aan de eisen 1, 2 en 4.

Figuur 9. De driehoekige dipiramide

Niet convex

In figuur 10 zie je de kleine sterdodecaëder. Je kunt het zien als een veelvlak dat is opgebouwd uit zestig gelijkbenige (gulden) driehoekjes. Op die manier voldoet het alleen aan eis 2 (congruente zijvlakken) en is dus verre van ‘regelmatig’. Maar je kunt op een interessantere manier naar dit veelvlak kijken, en dan is het net zo regelmatig als een dodecaëder, alleen is het niet convex. Daartoe moet je wel het begrip ‘regelmatige veelhoek’ wat oprekken, waarbij een pentagram een regelmatige vijfhoek is, maar dan van orde 2 omdat hij twee keer in plaats van één keer rond gaat.

Figuur 10. De kleine sterdodecaëder

De kleine sterdodecaëder is dan opgebouwd uit twaalf van die tweede orde vijfhoeken (zie figuur 11), waarvan er in elk hoekpunt vijf aan elkaar zitten. Dit ‘hogere orde’-veelvlak behoort tot de vier Kepler-Poinsot sterren, de regelmatige niet-convexe veelvlakken.

Figuur 11. Het pentagram, de regelmatige vijfhoek van de tweede orde

Literatuur

Regelmaat in de ruimte van A.K. van der Vegt, ISBN 90-407-1274-3, Delft University Press.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 oktober 2002

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.