Je leest:

De ontcijfering

De ontcijfering

Elke dag storten televisie, kranten en tijdschriften een enorme hoeveelheid cijfermateriaal over ons uit: zoveel procent van de Nederlanders vindt zus of zo, één op de zoveel mensen krijgt die en die ziekte, als dit getal blijft toenemen, dan… Daarbij wordt vaak veel onzin beweerd. Geen wonder, als je weet dat rekenen voor de mens een tamelijk nieuwe bezigheid is.

Wordt het niet wat vol op aarde? De wereldbevolking bestaat uit bijna 6 miljard mensen. Van zo’n groot aantal kun je je nauwelijks een voorstelling maken. Maar laat al die mensen in gedachten eens op elkaar staan. De gemiddelde lengte bedraagt 1,3 meter (er zijn immers veel kinderen bij). Op die manier krijg je een menselijke toren met een hoogte van 7,475 miljoen kilometer. Dat is ruim tien keer een reisje van de aarde naar de maan en terug! Of leg iedereen plat achter elkaar op de grond. De aardomtrek bedraagt 40.000 kilometer. Als iedereen ligt, heb je een menselijk lint dat de aardbol bijna tweehondermaal omcirkelt! Over overbevolking gesproken…

“Nou nou, wat vol!” reageert John Allen Paulos, hoogleraar wiskunde aan de Temple University in Philadelphia. “Ziek word ik van zulke vergelijkingen. Je kunt ze naar hartelust gebruiken om iets eenzijdig te belichten. Na zo’n betoog denk je: ‘Wat erg! Vind je ’t gek dat de aarde naar de knoppen gaat?’ Maar iemand die het met de wereldbevolking niet zo somber inziet, kan even veelzeggend een andere vergelijking maken. Geef elk van die 5,75 miljard mensen maar eens de ruimte. Zeg een leefruimte van 18 meter lang, 5 meter breed en 2,4 meter hoog. Dat zijn toch de afmetingen van een behoorlijk appartement. Welnu, met zoveel ruimte om ons heen vullen we met z’n allen nog steeds niet de Grand Canyon!”

De Grand Canyon in de Amerikaanse staat. Daar passen we dus met zijn allen in… Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

Volgens Paulos is het bovenstaande een voorbeeld van dyscalculia, een verschijnsel dat je in het Nederlands kan vertalen als ‘ongecijferdheid’. Onvermogen om te rekenen kun je het niet noemen, want dat wordt in het voorbeeld juist wel gedaan. Het is eerder ons onvermogen om getallen of getalsmatige redeneringen op hun juiste waarde te schatten.

Een kwalijke zaak, zegt Paulos, als je beseft dat ons leven een aaneenschakeling van cijfers en statistieken is. “Denk maar eens aan alledaagse risico’s, zoals de kans om een ongeluk te krijgen of aids op te lopen. Wie een moment van dyscalculia heeft, kan een groot gevaar over het hoofd zien. Of hij kan zich juist opwinden over kleinigheden. Volgens ons National Council on Unchallengeable Statistics (het Amerikaanse Centraal Bureau voor de Statistiek – red.) vertoont 88,47 procent van ons ongeveer 5,61 maal per dag zo’n verkeerde reactie. Voor de VS alleen al komt dat neer op bijna een half biljoen gevallen van dyscalculia per jaar. Vind je het dan gek dat er ook op beleidsniveau vaak volkomen verkeerde beslissingen worden genomen?”

Honderd procent kans op regen

Paulos viel het verschijnsel voor het eerst op toen hij een vrijdagavond met vrienden doorbracht. “We wilden weten hoe het weer zou worden en zetten de televisie aan,” zegt hij. “De weerman voorspelde 50 procent kans op regen voor zaterdag en 50 procent kans op regen voor zondag. Voor het hele weekeinde, zo vertelde hij, was de kans op regen dus 100 procent. En echt: ondanks het feit dat bijna al mijn vrienden een voltooide universitaire opleiding hadden, zat niemand met zijn ogen te knipperen. Niemand die het opviel dat de weerman onzin stond te verkopen.”

Niet alleen de televisie, ook kranten en tijdschriften overspoelen ons met allerlei getallen en statistieken. “Vraag je eerst maar eens af waar die gegevens vandaan komen,” waarschuwt Paulos. "Uit een breed wetenschappelijk onderzoek? Of uit een vage steekproef? Of zijn het de gekleurde cijfers van een actiegroep? Dat staat er nooit bij. Journalisten worden getraind om te vragen: wie, wat, waar, wanneer, waarom en hoe? Ze vragen niet: hoe vaak of hoe waarschijnlijk? De meesten weten niet hoe ze statistieken of grafieken moeten interpreteren.

“Lees de economiepagina’s er maar op na. De gewichtige toon waarmee verslaggevers daar commentaar geven op de koersschommelingen is ronduit lachwekkend. De ene keer is een handelstekort de oorzaak. Dan weer heeft een aardbeving het gedaan. Je moet toch wat. Dat de meeste schommelingen op puur toeval berusten, staat er nooit bij. Economie is namelijk net als het weer een buitengewoon complex systeem van niet-lineaire variabelen. In een lineair systeem vloeit een verandering voort uit een voor de hand liggende oorzaak. In een niet-lineair systeem is dat niet het geval. Daarop is de chaostheorie van toepassing en krijg je de wildste uitkomsten. Toch is er geen commentator die zegt: ‘De Dow Jones-index sloot zo-en-zoveel punten lager, maar vraag me niet waarom’. Als hij dat iedere dag schrijft, staat hij snel op straat.”

Minder hersentumors door draadloos telefoneren?

Dat voorspellingen over weer en economie verre van betrouwbaar zijn, beseffen de meeste mensen wel. Maar op de uitkomsten van medisch onderzoek staren de meesten zich blind. “Een buitengewoon hachelijke zaak,” meent Paulos. "Want kijk maar eens naar de betrouwbaarheid van zo’n onderzoek. Een arts voert bijvoorbeeld een 99 procent betrouwbare test uit op een ziekte die slechts 1 op de 1000 mensen treft. Toch betekent een positieve uitslag slechts een kans van 9 procent dat je die ziekte daadwerkelijk hebt. Rara, hoe kan dat?

“Reken maar mee. Een betrouwbaarheid van 99 procent betekent dat iemand die de ziekte heeft, in 99 procent van de gevallen positief op de test reageert. Iemand die de ziekte niet heeft, reageert in 99 procent van de gevallen negatief. Stel dat er 100.000 tests worden uitgevoerd. Hoeveel daarvan zijn positief? Gemiddeld hebben 100 van die 100.000 mensen (1 op 1000) de ziekte. Aangezien 99 procent daarvan positief op de test reageert, hebben we 99 positieve gevallen. Van de 99.900 gezonde mensen reageert 1 procent positief. Dat geeft maar liefst 999 positieve gevallen. Van het totale aantal van 1098 positieve gevallen (99 + 999) is de meerderheid dus niet eens ziek! De kans dat iemand van de positief getesten de ziekte daadwerkelijk heeft, is dus 99/1098, ofwel slechts iets meer dan 9 procent!”

Thomas Bayes (1702-1761) was een achttiende-eeuwse dominee. Na zijn dood werd zijn essay – - Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances – gepubliceerd. De Franse wiskundige Laplace accepteerde Bayes’ resultaten, terwijl Boole en anderen die sindsdien in twijfel getrokken hebben. Ondanks die twijfel is de regel van Bayes een geaccepteerd onderdeel van de moderne statistiek. Bayes’ regel is bijvoorbeeld van toepassing op ziektetests uit het voorbeeld hierboven, maar ook op het herkennen van spam e-mails!

Nu een praktijkgeval van medische ongecijferdheid. In de VS ontstond onlangs geweldig kabaal over een zogenaamde verband tussen kwaadaardige hersentumoren en draadloos telefoneren. Iemand wiens vrouw daaraan was overleden, spande een rechtszaak aan tegen het bedrijf dat hem een draadloze telefoon had verkocht. Nu komt een kwaadaardige hersentumor jaarlijks slechts bij 7 op de 100.000 personen voor. Omdat de bevolking van de VS zo groot is, betekent dat 17.500 nieuwe gevallen per jaar. Er zijn 10 miljoen gebruikers van zo’n draadloze telefoon, zodat zich onder hen jaarlijks 7/100.000 = 700 gevallen van kwaadaardige hersentumoren moeten voordoen.

“En toch: ondanks de enorme media-hype rond dit proces kwam maar een handvol draadloze telefoongebuikers met een kwaadaardige hersentumor te voorschijn,” zegt Paulos. “Op grond daarvan zou je kunnen concluderen dat draadloos telefoneren de kans op deze ziekte juist vermindert. Te gek voor woorden natuurlijk. Maar niet gekker dan de gedachte achter de oorspronkelijke hysterie.”

Rekenen is meer dan 1 + 1 + 1

Is er niets te doen aan dyscalculia? Het vervelende is dat het – afgezien van een gebrek aan kennis over statistiek – niet eens gaat om het wel of niet kunnen tellen. Dat leren mensen bijna automatisch vanaf een bepaalde leeftijd. Of ze al dan niet naar school gaan is niet eens van belang. Ook analfabeten kunnen tellen.

Maar kunnen we ook goed rekenen? Daarvoor is immers abstract en symbolisch denken nodig dat verder gaat dan ‘één + één + éen’. Volgens onderzoekers van het Max-Planck-Institut für Blidungsforschung in Berlijn en onderzoekers van de Freie Universität aldaar rekenen we nog maar vijfduizend jaar. Rond 3000 v.Chr. duiken in het Midden-Oosten kleifiguurtjes op met symbolen die ingewikkelder zijn dan alleen maar de streepjes op een kerfstok.

Een vierduizend jaar oud kleitablet met een wiskundige opgave. De twee cirkels stellen de muren van een stad voor, waarvan de omtrek berekend moest worden. Voor de leerling die deze som maakte, was de opgave veel te moeilijk. De leerling zou een zware onvoldoende gekregen hebben. Irak, 2500-1800 v Chr. bron: Museum BoerhaaveKlik op de afbeelding voor een grotere versie.

Waarom ineens die symbolen? Onderzoeker Peter Damerow: "In Mesopotamië ontstonden in die tijd de eerste steden. De ingewikkelde symbolen die dan op kleitabletten opduiken, weerspiegelen het toenemende aantal goederen dat rondging in een stedelijke gemeenschap. Vóór die tijd ging het om eenvoudige landbouw- en veeteeltprodukten, zoals een paar dieren of een paar maten graan. “Pas toen er gehandeld werd, en ook produkten werden uitgewisseld voor diensten, ontwikkelde zich een rekenkunde waarbij het ging om veelvouden van die aantallen. Er moest worden vermenigvuldigd. En door de grote uitkomsten waar het ineens om ging, moest de aanduiding van een bepaald aantal worden losgekoppeld van de hoeveelheid zelf. Zo ontstonden getalssymbolen. Overigens zou het nog tweeëneenhalf duizend jaar duren totdat de Grieken tot een echt, abstract getalbegrip kwamen. En nog maar sinds de middeleeuwen kennen wij de nul. Die kwam via het Westarabisch uit India overgewaaid.”

Abstract rekenen met moderne cijfers doen we nog geen vijfhonderd jaar. Pas in de zestiende eeuw werden Romeinse cijfers verdrongen door Arabische en was het tellen met een telraam ouderwets. Hier een middeleeuwse voorstelling van de ‘overstap’ die de wiskunde toen maakte. Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

Het abstract rekenen, met symbolische eenheden, is dus nog maar een recente stap in de ontwikkeling van kennis en begripsvermogen (de zogenaamde cognitieve ontwikkeling) van de mens. Zou ongecijferdheid dan niet komen door het feit dat het op sommige punten te snel is gegaan? Bij veel natuurvolkeren wordt nog steeds geteld op twintig vingers en tenen. In onze moderne samenleving gebruiken we zonder aarzelen getallen waarvoor handen en voeten absoluut te kort schieten.

Over handen en voeten gesproken…rekenen op de hand kan aardig ingewikkeld worden!bron: Museum Boerhaave Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

Ook John Paulos is het daarmee eens. “Zeker, een deel van het probleem is van psychologische aard. Een ander deel is terug te voeren op een gebrekkige kennis van statistiek en een derde deel heeft betrekking op de achtergrondgegevens die de media ons verstrekken. Aan de eerste oorzaak kun je weinig doen; bij punt twee helpt alleen beter onderwijs. Maar dat derde deel: dat moet toch te vermijden zijn? Kranten en tijdschriften besteden de grootst mogelijke zorg aan de eindredactie. Waarom wordt er niet iemand bijgehaald die getallen en getalsmatige redeneringen narekent? De journalistiek vindt een spelfout erger dan een getalfout. Ook al haalt zo’n fout getal een hele redenering onderuit!”

Literatuur

John Allen Paulos: Counting on dyscalculia; Discover, maart 1994; A mathematician reads the newspaper; Basic Books (1995)

Dit artikel is een publicatie van Astronet.
© Astronet, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 23 augustus 2004

Discussieer mee

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE