Je leest:

De Mozarts van de wiskunde

De Mozarts van de wiskunde

Auteur: | 12 maart 2009

In de achttiende eeuw reisden vader Mozart en zijn geniale zoon Amadeus de culturele wereld af. In onze tijd ontroeren de Canadese vader en zoon Demaine de ‘wiskunstige’ wereld. ‘Wiskunde is overal, in jongleren, in muziek, in Afrikaanse zandtekeningen.’

De film Amadeus toont hoe wonderkind Mozart als tiener muziek componeerde en samen met zijn vader Leopold van het ene bisschoppelijke hof naar het andere keizerlijke paleis reisde. Toch misprees keizer Jozef II ‘de vele noten’ in Mozarts muziek en keken collega’s, zoals Antonio Salieri, afgunstig neer op het jonge, te speelse genie.

Tegenwoordig reist de 27-jarige Erik Demaine, die zonder reguliere schoolse opleiding op 20-jarige leeftijd de jongste professor ooit werd aan het prestigieuze Massachusetts Institute of Technology (MIT), met zijn 61-jarige vader Martin Demaine de wereld van de mathematische congressen rond. Met zijn lichtvoetige wiskunde van origami, goocheltrucjes, touwontrafelingen of dobbelstenen geeft hij overal voordrachten, in deze tijd met name in België, omdat hij daar sinds 1 november 2008 een tijdelijke positie heeft aan de Université Libre de Bruxelles (ULB). Toch vragen vader en zoon me uitdrukkelijk om van dit artikel een ‘ernstig schrijven over ons on-ernstig werk’ te maken. We beloven een poging te doen.

Op zijn zeventiende kon Demaine een toverkunst van Houdini generaliseren: het betekende zijn internationale doorbraak.

Van Greyhound naar MIT

Vanaf zijn zevende krijgt Erik privéles van zijn alleenstaande vader Martin, een kunstenaar uit het Canadese Halifax. Maar al op zijn zesde prijkte de puzzelfirma Erik and Dad Puzzle Co. in The Daily News van Halifax. Samen reizen ze de oostkust van de Verenigde Staten af, de lessen geeft vader Demaine in hotels en in de bus. ‘Maar toen ik Erik volgens de wettelijke voorschriften een tweede taal moest leren, had ik een probleem. Ik ben niet zoals jullie Belgen, ik kan alleen Engels.’ Dus vindt hij een soort fluittaal uit om aan de verplichtingen te voldoen.

Op zijn twaalfde wordt Erik toegelaten tot de Dalhousie University in Halifax, waar hij op 14-jarige leeftijd zijn bachelor behaalt. ‘We leerden vooral samen,’ zegt Erik. ‘We gingen samen naar de universiteit, en later gebeurde het zelfs dat mijn vader tussen mijn studenten zat.’ Erik zal zijn vader inderdaad snel inhalen en in 2001 aan de universiteit van Waterloo (Canada) een doctoraatstitel behalen. Die geeft hem onmiddellijke toegang tot het MIT. Via het Computer Science and Artificial Intelligence Lab van het MIT rolt de jonge Demaine van de ICT in de wiskunde.

Eerder al komt hij spelenderwijs tot de wiskunde. Na de puzzels ontdekt hij in de jaren 1989-1992 de eerste echte pc’s van het post-IBM-tijdperk, ‘in de DOS-tijden, weet je nog?’ De toenmalige computers zijn wel gesofisticeerd genoeg om spelletjes op te spelen, maar ze moeten via allerhande programmeringinstructies worden bestuurd. Voor de veelgebruikte programmeertaal BASIC is enige wiskundige kennis nuttig. Eriks publicaties met titels zoals ‘Van C naar Java’ getuigen van deze aanvankelijke hoofdinteresse voor de zuivere computerwetenschappen.

‘Zo rolde ik in de wiskunde,’ zegt Erik, die begon met de zogenoemde discrete wiskunde en lineaire algebra. ‘Trouwens, er wordt vandaag wel genoeg ’klassieke’ calculus onderwezen, maar niet genoeg discrete methodes.’ Calculus is het deelgebied van de wiskunde met afgeleiden en integralen, dat ook in het onderwijs in België en Nederland enige aandacht opeist.

Wiskundig voorbereid op de computerwetenschappen, slikt Erik daarna alles van distributieve rekenmethodes tot ‘supercomputing’. Tot hij ondervindt dat programmeren wel opwindend kan zijn, maar het toch ook zijn limieten heeft. Uiteindelijk vindt hij zijn gading in de algoritmiek, waarin hij een goed compromis vindt tussen wiskunde en computerwetenschappen. Deze wetenschap, genoemd naar de Arabische wiskundige Al-Kwarizmi, betreft de studie van eindige reeksen instructies, met meestal enkele zichzelf herhalende stappen die ophouden als aan een gegeven voorwaarde is voldaan.

Erik Demaine showt met lichtstaafjes tijdens zijn persoonlijk congres op, tja, Barbados.

Toveren en origami

‘Algoritmes zijn overal,’ stelt Erik, ‘in het jongleren, in de meetkunde van de muziek, in Afrikaanse zandtekeningen, in de Zuid-Amerikaanse geknoopte quipu’s.’ Het doet hem dan ook oneer aan om hem te omschrijven als ‘de vouwwiskundige’, al bezorgde dat hem wel zijn internationale doorbraak. Op zijn zeventiende kan Erik namelijk een toverkunst van Houdini generaliseren: elke vorm begrensd door rechte lijnstukken kan verkregen worden door één stuk papier veelvuldig te vouwen en vervolgens één enkele schaarsnede toe te passen.

Voor zijn doctoraalonderzoek lost Demaine een ander vouwvraagstuk op, over vlakke configuraties van staven (met eventueel ongelijke lengtes) die met scharnieren aan elkaar verbonden zijn, zoals bij een vouwmeter van een timmerman. Erik wordt al eens gevraagd naar de toepassingen van zijn kunstwerken (waarom wordt deze vraag nooit over het werk van Mozart gesteld?), maar die zijn er wel degelijk. Het volstaat te verwijzen naar het vouwen van robotarmen, airbags, metaalplaten, of zelfs van eiwitten.

‘Op sommige problemen zit ik al tien jaar te broeden’, geeft Erik toe. Zo blijft hij geïntrigeerd door het honderd jaar oude vraagstuk over de scharnierende omzetting van een gelijkzijdige driehoek in een vierkant (zie onderstaande figuur), waaraan – terecht of onterecht – de naam van Henry Dudeney verbonden is. ‘Een willekeurig veelvlak kan door zulke scharnierende versnijdingen wel steeds in een ander worden omgezet,’ weten de Demaines, ‘maar het is onbekend wat het minimum aantal is. Zelfs voor de oplossing van Dudeney is het niet zeker of vier stukken inderdaad het minimale aantal puzzelstukken is.’

Een gelijkzijdige driehoek kan via scharnierende omzetting veranderen in een vierkant.

Uiteenzettingen over Demaines onderzoek, die vrij kunnen worden geraadpleegd op zijn website, vinden hun weg naar de media: er bestaat een documentaire Between the Folds (‘Tussen de vouwen’). Op het blogportaal van Eos (www.scilogs.be) schreef Rudi Penne een bijdrage over de zogenoemde Mozartkugel – ‘optimaal’ vouwwerk rondom een bolvormige praline – waaraan overigens de Belg Stefan Langerman (ULB) meewerkte. Demaine neemt origami zeer ernstig en leerde hiervoor zelfs Japans. Maar de buitenwereld heeft het er nogal eens moeilijk mee. Zelfs in Japan wordt soms neergekeken op het ‘heemkundige’ van origami. Vandaar dat de termen ‘advanced’ of ‘computational’ origami ingang hebben gevonden.

Erik Demaine ontwikkelde software om papiervouwen – wiskundige origami zeg maar – te simuleren.

Toen Demaine op 22-jarige leeftijd het ‘Mac-Arthur Fellowship’ kreeg van 500.000 dollar, bijgenaamd de genius grant, was zijn commentaar: ‘Het winnen van de MacArthur-beurs is geweldig, want vele zaken die ik doe zijn erg theoretisch en moeilijk financierbaar via de reguliere subsidiekanalen.’

Speelse wiskunde

‘Wiskunde is meer dan geavanceerde algebra,’ belijden de Demaines in koor. ‘Het is een manier van naar dingen te kijken,’ een manier van begrijpen. ‘En zelfs als je het niet begrijpt, kan je aan wiskunde doen.’ Over een intrigerend vraagstuk een kunstwerk maken of een performance doen, kan juist toelaten om het te begrijpen, het eventueel op te lossen en zo nieuwe patronen te creëren. ‘We zouden graag een interactief standbeeld maken. Het publiek kan dan door het standbeeld opnieuw te vouwen en te scharnieren, verschillende vormen krijgen.’ Op die manier kan je ‘fun’ hebben met algoritmen, zelfs al is de achterliggende wiskunde moeilijk te begrijpen. ‘Maar er zijn veel mensen die de wiskunde wél begrijpen, zelfs al denken ze zelf van niet.’

Speelgoed zoals Knex of het Zometool nodigen uit tot wiskundecursussen. In het Computer Science Laboratory van het MIT speelt Demaine kunstzinnig met een lasercutter die staal snijdt. Hij vindt het prachtig materiaal, want ‘het buigt en vouwt zo mooi’. Het is een nieuw, nog ongedefinieerd vakgebied, want ‘de wiskunde van hoe een oppervlak buigt en vouwt, beginnen we nog maar pas te begrijpen’. Het is bijvoorbeeld nu pas bekend dat een grote uitvoering van een oppervlak in de vorm van een zadel toch niet door een wijd verspreide procedure van vouwen met vierkante patronen kan worden gekregen. Dat werkt immers alleen maar als er genoeg aan het papier wordt gewrongen, en met staal zou dat niet lukken. Meteen is het vouwvideootje op onze website (etopia.sintlucas.be/3.14) waardeloos. Tja, het moet wel juist zijn, in de wiskunde. ‘Maar je kon het niet weten,’ troosten de Demaines me. ‘We hebben dit pas bewezen.’

Ze blijven beleefd, want het zijn ‘samenwerkers’. Ze willen met zoveel mogelijk mensen samenwerken, en dat valt onmiddellijk op bij het zien van Eriks CV. In zijn publicaties staat zelden ‘I’, maar steevast ‘we’. Voor de nabije toekomst beogen de Demaines via een toepassing in de kunstmatige intelligentie een novelle te schrijven waaraan tienduizend auteurs zouden meewerken.

Nog lichtvoetiger

De humor van de Demaines dringt soms subtiel door in de titels van hun publicaties, zoals in het artikel ‘Deflating the Pentagon’: ‘pentagon’ staat voor ‘vijfhoek’ maar ook voor het Amerikaanse ministerie van Defensie, wat bewust benadrukt werd door het gebruik van hoofdletters. Maar ook algemener, of het nu over wiskunde gaat of niet, streven vader en zoon naar een andere manier van lesgeven. Toen beide Demaines net uit Canada aankwamen aan het Amerikaanse MIT, zagen ze tot hun teleurstelling dat de meeste studenten alleen het internet raadpleegden en zelden naar de bibliotheek gingen. Een van hun eerste opdrachten was daarom een stoel te maken voor de bibliotheek, bestaande uit alleen maar boeken. ‘We wilden de boeken ’up-cyclen’, niet gewoon recyclen.’ Het MIT waardeerde het interdisciplinaire aspect en de stoel werd daarna zelfs in de Boston Public Library tentoongesteld.

Soms zitten ze niet alleen ‘op’ de wetenschappen, want het gebeurt ook dat ze zich letterlijk ‘in hun onderzoek verdiepen’. Zo zijn rotaties in drie dimensies niet noodzakelijk ‘commutatief’ (twee opeenvolgende rotaties geven niet noodzakelijk hetzelfde resultaat als hun volgorde wordt omgewisseld), en daarom bedachten ze een performance waarin Martin in een dobbelsteen kruipt en wordt rondgeduwd door Erik.

De fietshelm ligt klaar op de dobbelsteen (foto boven), waarin vader Martin zal kruipen (foto onder), geduwd door zoon Erik, om zo lijfelijk de wiskundige eigenschappen van 3D-rotaties te illustreren.

Toen ze uitgenodigd waren voor een reeks voordrachten aan een universiteit in Georgia met een nogal conservatieve reputatie, waren ze bang voor een passieve en levenloze zaal. Eriks eerste voordracht in de reeks bleek te bevestigen dat er alleen erg beleefde reacties kwamen. Daarop vermomde vader Martin zich om incognito plaats te nemen in de zaal voor de volgende voordracht. Hij stelde vervelende vragen, zoals ‘Waarom wordt uw voornaam Erik met een ’k’ geschreven?’ of ‘Betalen ze u echt om Tetris te spelen?’ Halverwege stond hij op om te tonen dat hij ook wiskundige kunstjes kon uitvoeren, en hij begon het vervolg van de voordracht te geven. Maar toen er een stuk kwam over wiskunde en goocheltrucs, bleek de eerste truc de onthulling van vader Martin door zoon Erik. Er klonk een applaus van opluchting en een schuldig gelach in de zaal, maar het doel was bereikt: het ijs was gebroken. ‘Het was een van onze beste lezingen,’ grappen de Demaines.

Wiskundige improvisatie

Mozart was beroemd om zijn improvisaties en ook Erik Demaine onderwijst het liefst ‘in realtime’. Geen slaapverwekkend geduw op het enterknopje van een Powerpointvoorstelling of het afratelen van ingestudeerd bewijs in ‘playback’. Nee, samen met studenten een stelling opstellen en herontdekken doet de jonge Demaine het liefst. Zelfs al houdt dat risico’s in, zoals toen hij de stelling van Erdös-Nagy onderwees. Paul Erdös – bekend als ‘de man die van getallen hield’, naar het gelijknamige boek van Paul Hoffman – formuleerde in 1935 een vraagstuk over zogenoemde ‘convexe veelvlakken’. Dat zijn vlakke figuren die door een strak gespannen touw volledig worden omvat. Voor niet-convexe veelvlakken zijn er openingen, die evenwel steeds om dit touw kunnen worden gespiegeld, en zo een nieuw veelvlak leveren. Erdös vermoedde dat een herhaling van deze procedure steeds in een eindig aantal stappen in een convex veelvlak zou uitmonden, en in 1939 dacht Béla Szökefalvi-Nagy dit effectief te hebben bewezen.

Als rond een niet-convex veelvlak (boven links) een touw gespannen wordt en de openingen steeds om dit touw worden gespiegeld, levert de (eindige) herhaling van deze procedure uiteindelijk een convex veelvlak (onder rechts): dit is de stelling van Erdös-Nagy-‘Demaine’.

Het bleek een mooie redenering, waar vele wiskundigen over schreven en doceerden, zoals de Belgische Canadees Godfried Toussaint en Erik Demaine zelf. Zijn MIT-studenten kregen een ‘gemoderniseerde’ versie van het bewijs van Nagy te horen, maar één stap bleek niet duidelijk voor een student. Professor Demaine kon het niet uitleggen voor het bord, en ging dan maar de originele versie uit 1939 raadplegen. Met vernieuwde moed besprak hij het vraagstuk in de volgende les, maar de student reageerde opnieuw met ‘Dat geloof ik niet’. De student had gelijk: er zat een onvolkomenheid in het bewijs. Erik Demaine schudde dan maar een nieuw bewijs uit zijn mouw. En zonder schroom om het verhaal te vertellen van de ongelovige student.

De wiskunde achter ‘Blokken’

Op zijn website verwijst Erik Demaine naar het spel Tetris, dat in Vlaanderen erg bekend is door de televisiequiz ‘Blokken’, gepresenteerd door Ben Crabbé. Erik toont met trots zijn diploma van ‘Tetris Master’, uitgereikt door de Harvard Tetris Society, nota bene op de zestiende dag van de twaalfde maand van het jaar 17 Anno Tetri (2002). Demaine kreeg de prijs voor het bewijzen van de ‘NP-compleetheid’ van het spel, waarin NP staat voor Nondeterministic Polynomial.

Gevraagd naar een uitleg die ook de niet erg wiskundig georiënteerde Blokkenspeler zou kunnen begrijpen, antwoordt Erik Demaine ‘Zeg maar dat een computer Blokken niet goed genoeg kan spelen’. Met andere woorden, of nu een mens dan wel een computer het spel speelt, er zal geen verschil zijn in de gemiddelde score. Voor de ingewijden: zelfs de strategie om met de blokjes steeds zo laag mogelijk te blijven, zou niet altijd de optimale keuze zijn, zo beweert de geniale wiskundige, en hij voegt er onmiddellijk aan toe: ‘Spelers moeten dus nooit vrezen door een computer belachelijk gemaakt te worden’. In het schaken moest zelfs Kasparov zijn meerdere erkennen in de computer, maar Ben Crabbé kan nog duizenden uitzendingen verder doen, met wiskundige garantie.

Dit artikel is een publicatie van EOS Magazine.
© EOS Magazine, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 12 maart 2009

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.