Op internet kan iedereen vrijelijk informatie neerzetten. Maar wat beweegt iemand om dat te doen? Waarom zet iemand zijn hele CD-collectie op internet? De verbazing over al dit soort nutteloze informatie bracht Paul Philips er toe om de ‘Useless Pages’ te maken. Hij licht toe: “Nutteloos betekent niet slecht gemaakt of zonder enige waarde, maar dat er geen reden is om deze dingen op het Net te zetten”. Voorbeelden: ‘Driveways of the Rich Famous’ (foto’s van opritten van huizen van vele beroemdheden) en de ‘Guide to sleeping in airports’. Maar ook de ‘Uselessness of Pi and friends’. En inderdaad, het is verbazend hoeveel informatie er over het getal pi te vinden is.

Bijvoorbeeld over de decimale ontwikkeling van pi. Je rekenmachine geeft voor pi de waarde 3.14159265, maar pi is tot op vele miljoenen decimalen berekend. Het huidige record is van het Japanse Kanada laboratorium met 51.539.600.000 decimalen. Iedereen kan daar de eerste 200 miljoen decimalen van pi downloaden (215 Mb). Maar er zijn vele tientallen andere sites waar je eveneens de decimale ontwikkeling van pi kunt vinden. Tot overmaat van ramp is niet alle informatie foutloos. Volgens de UCLA is de 15094ste decimaal van pi gelijk aan 4, terwijl deze volgens alle andere sites 3 is.

De decimalen van pi

Om de decimalen van pi te berekenen zijn er verschillende methoden. Elke decimaal van pi kun je in principe berekenen. Maar dat de decimalen berekenbaar zijn wil nog niet zeggen dat er een gemakkelijk te achterhalen regelmaat in zit. In de decimale ontwikkeling van pi valt geen patroon te bekennen. Deze willekeur in de decimale ontwikkeling van pi is wat veel mensen intrigeert.

Op internet zijn er allerlei sites waarop de decimale ontwikkeling van pi op de een of andere manier bestudeerd wordt. Zo is er de ‘Pi-search’ site. Hier kun je een aantal cijfers intikken. Als antwoord krijg je de eerste plaats in de decimale ontwikkeling van pi waar dat rijtje cijfers voorkomt. Indien gewenst ook de tweede plaats, enzovoort. Probeer het maar eens met je geboortedatum: http://www.angio.net/pi/piquery

Pi onthouden

De decimale ontwikkeling van pi is zo willekeurig dat wiskundigen geloven dat de decimale ontwikkeling van pi niet te onderscheiden is van een willekeurige rij cijfers. Een eindig rijtje cijfers komt op den duur even vaak in pi voor als dat je zou verwachten in een willekeurige rij. Zeker weten doen we dit niet, want niemand heeft dit tot nu toe kunnen bewijzen.

Het onthouden van de eerste zoveel decimalen van pi is een sport op zich. Maar in ons computertijdperk is dit een nogal nutteloze bezigheid geworden. Tegenwoordig tover je met een simpele druk op de knop vele duizenden decimalen op je scherm tevoorschijn. Op de Useless Pages over pi vind je verschillende pi-clubs. De leden van de 1000-club beweren 1000 decimalen van pi uit hun hoofd te kennen. Maar als bewijs hoeven ze slechts duizend of meer decimalen per email op te sturen. De tegenhanger van de 1000-club is de -2club, die bestaat uit mensen die beweren niet eens twee decimalen van pi te kunnen onthouden! Als je lid wil worden van zo’n pi-club, dan kan de volgende zin je op weg helpen (tel de letters in de woorden).

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

De vrienden van Pi

In de Useless Pages over pi kom je behalve pi ook andere getallen tegen. Zo vind je wortel 2 in een miljoen decimalen, maar ook de eerste 500.000 decimalen van wortel 4. Ook de getallen 17, 23, 27, 37, 42, 47 en 69 blijken elk een eigen fanclub te hebben.

Computer algebra

Het moderne equivalent van de zakrekenmachine is de grafische rekenmachine. Nog geavanceerder zijn computeralgebra pakketten. Dit zijn grote computerprogramma’s waarmee vele ingewikkelde wiskundige berekeningen een fluitje van een cent worden. Bekende pakketten zijn Derive, Mathematica en Maple. In zulke programma’s zitten een paar duizend decimalen van pi voorgeprogrammeerd. Maar ook meer decimalen zijn geen probleem, deze worden desgevraagd ter plekke berekend.Het getal pi komt voor in veel formules, maar duikt soms ook onverwacht op in berekingen. We geven een voorbeeld van een berekening met Maple waarbij pi opeens om de hoek komt kijken. We bekijken op het interval [0, 1] de functies f _n(x) = 4 + x⁴ⁿ(1 – x)⁴/x² + 1.Voor elke waarde van n = 1,2,3,… staat hier een andere functie. Met Maple kun je de grafiek van deze functies eenvoudig plotten, zie figuur 1. We berekenen de oppervlakte onder de grafieken. Dit zijn integralen die Maple voor ons berekent. Voor n = 1,2,3,4,5 krijgen we achtereenvolgens 22/7 = 3.14285714… 10886/3465 = 3.14170274… 141514/45045 = 3.14161394… 45708802/14549535 = 3.14159882… 150185878/47805615 = 3.14159493…

Alle oppervlaktes zijn breuken die Maple kennelijk exact kan berekenen. Dat is verrassend, want er is geen reden om te denken dat de oppervlakte onder de grafiek een gewone breuk is. Je zou eigenlijk logaritmes verwachten.Een nog grotere verrassing is dat de eerste breuk 22/7 een veelgebruikte benadering van pi was in het tijdperk vóór de rekenmachine. Bovendien zijn de daaropvolgende breuken nog betere benaderingen van pi. Hoe komt dit? Kunnen we op de een of andere manier verklaren waarom al deze breuken zo weinig van pi verschillen?We gaan eens kijken. We splitsen f_n(x) in twee stukken: f_n(x) = 4 / x² + 1 + x⁴ⁿ(1 – x)⁴ \ x² + 1.

In het eerste stuk komt n niet meer voor, in het tweede wel. In figuur 1 is voor n = 1,2,3 ook de grafiek van het tweede stuk geplot. We zien dat de oppervlakte onder deze grafiek heel erg klein is vergeleken met de oppervlakte onder de grafiek van f_n(x) (let op de schaalverdeling). Voor toenemende n wordt deze bovendien steeds kleiner. De oppervlakte die we berekend hebben is dus praktisch gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van4 / (x² + 1). Deze berekenen we met Maple. We typen in: int(4/(1+x²), x=0..1);Als antwoord geeft Maple: pi. Dat wil zeggen, volgens Maple is de integraal van 0 tot 1 4/(x² + 1) dx exact gelijk aan pi. Je kunt het antwoord zelf narekenen zodra je weet dat 1/(x² + 1) de afgeleide is van arctan(x). Ook voor grotere n blijkt f_n(x) een veelterm te zijn (zie figuur 1). De noemer x² + 1 kan blijkbaar steeds weggedeeld worden. Zo’n veelterm kunnen we rechttoe-rechtaan integreren en de uitkomst van zo’n integraal is natuurlijk een breuk. Zo is de integraal van 0 tot 1 van de bovenstaande veelterm gelijk aan 22/7.Je kunt zelf verder experimenteren door te zoeken naar functies t(x) die klein zijn op het interval [0, 1] en waarvoor (4 + t(x))/(x^2 + 1) een veelterm is. Hiermee vind je dan benaderingen van pi die breuken zijn. Wij gebruikten t(x) = x⁴ⁿ(1 – x)⁴; dit gaf voor n = 1 de benadering 22/7. Een andere bekende benadering van pi is 355/113. Kun je een functie t(x) vinden die deze benadering oplevert?