Je leest:

De magie van pi

De magie van pi

Auteur: | 30 juni 2000

Geen enkel getal spreekt zo tot de verbeelding als het getal pi. Sommigen leren decimalen van buiten, anderen maken er hun levenswerk van om zoveel mogelijk decimalen te berekenen. Het is allemaal volstrekt overbodig, maar het levert een schat aan vermakelijke anekdotes op.

Het getal pi is de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter. Is de diameter één (één millimeter, één lichtjaar of één el), dan is de omtrek 3,1415926535… millimeter, lichtjaar of el. Pi is de onlosmakelijke partner van de meest volmaakte geometrische figuur: de cirkel. Dat moet een volmaakt, welhaast goddelijk getal zijn. Als de wereld rechtvaardig was, zou je verwachten dat de omtrek van die cirkel wel een fatsoenlijk getal op zou leveren. Drie, of tien. Niks hoor. Het blijkt een onafzienbare rij decimalen te zijn waaraan geen kop of staart is te herkennen.

Pi is geen geheel getal en ook geen breuk. Het een irrationaal getal. Feitelijk ligt het nog gekker. Neem een typisch irrationaal getal als wortel twee. Daarvan kun je vrij eenvoudig bewijzen dat het geen breuk is. Hoewel Pythagoras daar anders over dacht, is het een fatsoenlijk, hanteerbaar getal, want het is de oplossing van de vergelijking x2 = 2. Wiskundiger uitgedrukt: het is een oplossing van een veelterm met gehele coëfficiënten. Nog een voorbeeld van zo’n veelterm is 3x5 – x3 + 88x2 – 16 = 0. De coëfficiënten 3, -1, 88 en -16 zijn mooie, gehele getallen. Je kunt een klasse getallen definiëren die hierin passen: alle getallen x die oplossing zijn van zulke veeltermen met gehele coëfficiënten. Dan vind je alle gehele getallen, alle breuken en heel veel irrationale getallen zoals wortel twee. Maar geen pi. Je kunt bewijzen (maar dat is niet eenvoudig) dat pi geen oplossing is van welke veelterm met gehele coëfficiënten dan ook. Pi is transcendent.

Onmogelijk

Niet alleen irrationaal – stel je voor dat ze jou zo zouden noemen; je zou minstens drie komma veertien jaar therapie in een gesloten inrichting verwachten – maar zelfs transcendent. Dat is bijna zoveel als bovennatuurlijk, geniaal en (vooral) gestoord. De transcendentie van pi impliceert de onmogelijkheid van de kwadratuur van de cirkel. De kwadratuur is een van de klassieke geometrische opgaven: construeer met passer en liniaal een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven cirkel. Dat Ferdinand von Lindemann in 1882 bewees dat zulks onmogelijk is, weerhoudt mensen er nog altijd niet van om het met een onvoorstelbare koppigheid te blijven proberen. Ook hedendaagse wiskundigen vinden zo nu en dan een epistel op hun bureau, waarin iemand zijn claim de kwadratuur van de cirkel te hebben volbracht, ondersteunt met vijftien kantjes meetkunde. De meer welwillenden worstelen zich door het epistel, wijzen de auteur op de misplaatste aanname bovenaan het vijfde velletje, en geven de moed op wanneer na een maand of wat er wederom 25 kantjes binnenkomen die het hiaat in het bewijs ondervangen. Er is zelfs een officiële term voor deze aandoening: morbus cyclometricus. De symptomen zijn een hardnekkige weigering het bewijs van Lindemann onder ogen te zien, een niet aflatende werklust, een bijkans onvoorstelbare koppigheid en een middelmatige aanleg voor wiskunde.

Baldadige nerd

Het cirkelgetal heeft magie, dat staat als een paal boven water. Dat heeft grappige uitwerkingen op mensen. Ikzelf heb ooit 340 decimalen van buiten gekend. In plaats van Duitse woordjes leerde ik decimalen – het is de manier waarop de nerd baldadig is. Er bestaan mensen die duizenden decimalen van buiten kennen, soms twee kanten op (‘Decimaal 1408? O, dat is een 7’). Het wereldrecord staat op naam van de Japanner Hiroyuki Goto. Hij kent 42.000 decimalen van buiten en heeft negen uur nodig om die allemaal voor te dragen. In Japan – natuurlijk in Japan – is een lab waar ze er lol in hebben zoveel mogelijk decimalen uit te rekenen. Aan de universiteit van Tokio souperen de Japanner Kanada en zijn staf al twintig jaar lang bergen rekentijd op de computer en hopen hardeschijfruimte. Hun laatste record staat op 206.158.430.000 decimalen. Die decimalenkennis is volstrekt, volkomen en volmaakt overbodig. Mocht je daar anders over denken: op de webstek van Kanada kun je ze downloaden. Pi komt voor in cirkels en bollen. De omtrek van de cirkel is 2 pi r, het oppervlak, pi r2, de inhoud van een bol is 4/3 p r2 en zijn oppervlak is 4 pi r2. Ook in hogere dimensies gaat dat op. Het volume van een bol in zeven dimensies is 16/105 pi3 r7.

Zesennegentighoek

Tussen 3 en 4. Wiskundigen zullen het bewezen willen zien, maar gewone stervelingen willen wel geloven dat de omtrek van de zeshoek kleiner is en die van het vierkant groter dan die van de cirkel. De regelmatige zeshoek in de linker tekening heeft een omtrek van 6 r. Het vierkant rechts heeft een omtrek 8 r. Daaruit blijkt dus 6 r < 2 pi r <8 r, ofwel 3 < pi < 4.

Een intuïtief duidelijke methode om pi te benaderen is die van Archimedes. Van de afbeelding met een vierkant en een zeshoek wordt duidelijk dat pi tussen 3 en 4 ligt. Dat klinkt niet bijster spectaculair (is het ook niet), maar je kunt van zeshoeken naar twaalfhoeken, twintighoeken en zesennegentighoeken. Op deze manier kun je, als je heel veel tijd hebt, systematisch een steeds betere benadering van Pi vinden. Archimedes ging van zes- naar zesennegentighoek. Hij vond 223/71 < pi < 22/7. Ludolph van Ceulen kwam met dezelfde methode aan de 35 decimalen op zijn grafsteen. Minder decimalen maar meer humor legden politici van de Amerikaanse staat Indiana aan de dag. In 1897 namen ze een wet aan die ‘een nieuwe mathematische waarheid’ afkondigde. De wetstekst is nogal ingewikkeld geformuleerd – beweert bijvoorbeeld dat ‘het oppervlak van een cirkel is het kwadraat van een lijn met een lengte van een kwart van de omtrek van de cirkel’. Uit de tekst is zo onder meer te destilleren dat pi = 4, pi = 3,2 en de wortel van 2 zou gelijk zijn aan 10/7. Toen de pers hier lucht van kreeg en de zaak belachelijk begon te maken, is de wet afgeblazen.

Reeksen en rijen

De ontdekking van de differentiaal- en integraalrekening door Newton en Leibniz zorgde voor nieuwe methoden om pi te berekenen. Het getal wordt dan geschreven als een oneindige som. De bekendste is wel die van Leibniz: pi/4= 1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + … De reeks lijkt in eerste instantie handig omdat je alleen maar breuken hoeft uit te rekenen, en niet hoeft te worteltrekken. Hij is echter helemaal niet handig; kijk maar eens hoeveel termen je moet uitrekenen om een beetje een schappelijke benadering te krijgen. De reeks convergeert erg langzaam. Elke extra decimaal vereist tien keer zoveel termen als de vorige. Voor drie decimalen heb je vijfhonderd termen nodig, voor vier al vijfduizend. Daar zou zelfs Van Ceulen een punthoofd van krijgen. Kenners zien in de Leibniz-reeks direct de reeksontwikkeling van de arctangens, die ook wel de Gregory-reeks heet (genoemd naar de wiskundige James Gregory, die hem niet als eerste ontdekte). De reeks van Leibniz krijgen we door de Gregory-reeksontwikkeling van arctan (x) te nemen voor x = 1 en dat geeft inderdaad pi /4. Dat convergeert voor geen meter, zoals we al zagen, maar in 1706 was er de Engelse astronoom John Machin, die wat met die reeks speelde en erachter kwam dat die pi /4 ook gelijk is aan 4 arctan(1/5)-arctan(1/239). Zelfs de huidige zakjapannergeneratie krijgt het daarmee nog voor elkaar pi tot op een decimaal of vijf te berekenen. Een paar termen volstaan al. Als Van Ceulen dat had geweten, had hij wat meer tijd aan zijn gezin kunnen besteden.

Decimalenspaghetti

In het computertijdperk werd de decimalenspaghetti van pi natuurlijk rap langer. De Eniac, een van de eerste computers, berekende in 1950 met de methode van Machin al tweeduizend decimalen van pi. Dat moest buiten kantooruren, want ook toen al waren militaire toepassingen veel belangrijker dan wiskunde. Het rekenwerk zou geschieden gedurende twee weekenden in de zomervakantie, als de Eniac toch stond te niksen. De helft van de rekentijd ging op aan het controleren van de uitkomst. Er zou eens een decimaaltje fout zijn. Tot vér in het computertijdperk bleek de slimme bevinding van John Machin de geijkte methode om pi te kraken. Daarna vonden de wiskundigen en number-crunchers nóg efficiëntere manieren om zinloos bezig te zijn. Ik zou ze graag behandelen, maar dat zou de toch al onacceptabel hoge formuledichtheid van dit artikel tot vér boven de toelaatbare grens stuwen en mij op een uitbrander van de hoofdredacteur (een bioloog) komen te staan. Mokkend schik ik mij daarin, maar niet na nog wat over de resultaten te hebben gemijmerd. Zelf dacht ik altijd dat de decimalen van pi notoir moeilijk te berekenen waren. Ik kende alleen die Leibniz-reeks, en die is vreselijk inefficiënt. De gebroeders Borwein (die overigens vele pi-trivia op hun website hebben staan; zie onder) hebben een methode ontwikkeld die erg eenvoudig is (moeilijker dan worteltrekken wordt het niet) en die bij elke stap het aantal correcte decimalen minstens verdubbelt. Bij stap 3 ben je je rekenmachine al voorbij, en bij stap 5 draait Van Ceulen zich in zijn graf om.

Doel

Het is niet zo duidelijk waar die honger naar decimalen van pi eigenlijk vandaan komt. Waarom berekent iemand een miljard decimalen van pi? De Borweins, zelf hoofdrolspelers op het decimalentoneel, proberen in een artikel gewijd aan de Indiase wiskundige Ramanujan, wiens raadselachtige formules een belangrijke rol spelen in de decimalenjacht, een tip van de sluier op te lichten. Een mogelijke reden is, zo schrijven ze, dat de berekeningen fungeren als een soort referentie voor hoe geavanceerd en betrouwbaar numerieke methoden op de computer zijn. Om eerlijk te zijn: ik geloof er geen biet van. Dat is hoogstens een neveneffect, spin-off. Een tweede reden die ze aanvoeren is dat de zucht naar snellere formules en meer decimalen soms onverwachte ontdekkingen in de getaltheorie oplevert. Dan kun je net zo goed de kat over je toetsenbord laten lopen en kijken of er toevallig een mooi gedicht op je scherm verschijnt. Pas met de derde motivatie die de Borweins aandragen, komen ze in de buurt van de waarheid. Hun antwoord op de vraag waarom een wiskundige een miljard decimalen van pi berekent, is hetzelfde antwoord als de bergbeklimmer geeft op de vraag waarom hij de Mount Everest wil beklimmen: omdat hij er staat. Het getal pi maakt al eeuwenlang een prominent onderdeel uit van de wiskundige cultuur. Je vraagt niet naar het nut van een schilderij of een symfonie. Hetzelfde geldt voor pi. Het is een doel in zichzelf. Komt er ooit een einde aan de decimalenjacht? Het kan natuurlijk dat iedereen het op een gegeven moment welletjes vindt. Een interessantere mogelijkheid is de volgende. De decimaalontwikkeling van pi ziet er in het zestientallige (hexadecimale) stelsel heel anders uit. Daar geldt pi = 3,243F6A88… Voor dit stelsel is inmiddels een formule gevonden waarmee je bijvoorbeeld de miljoenste decimaal kunt vinden zonder eerst decimaal 1 tot en met 999.999 te hoeven vinden. Een klein computerprogrammaatje volstaat al. Je typt 3294937827 in en het programma vertelt je dat de decimaal op die plek een 8 is, of een C. Het is niet bekend of zo’n formule ook voor het tientallig stelsel bestaat. Voor de Japanner Kanada zou dat toch wrang zijn. Het werk van twintig jaar zou daardoor in één klap overbodig worden. Maar dat was het misschien toch al wel.

Dit artikel is een publicatie van Natuurwetenschap & Techniek.
© Natuurwetenschap & Techniek, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 30 juni 2000

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.