Meneer Smith heeft twee kinderen, waarvan ten minste één zoon die op dinsdag is geboren. Wat is de kans dat meneer Smith twee zoons heeft? Geloof het of niet, het dinsdagaspect in deze eenvoudig ogende vraag is relevant! De klassieke variant (meneer Smith heeft twee kinderen, waarvan ten minste één zoon. Wat is de kans dat meneer Smith twee zoons heeft?) is eigenlijk ook al verraderlijk. De eerste intuïtie zegt dat die kans 1/2 is, omdat de sexe van het ene kind onafhankelijk is van die van het andere kind. Als bekend zou zijn wélk van de kinderen in elk geval een jongen is (bijvoorbeeld de jongste), dan zou deze redenering opgaan. Maar omdat de jongen zowel het oudste als het jongste kind van meneer Smith kan zijn, is de analyse subtieler. Onderstaand schema laat de mogelijkheden zien.
In het schema valt de eerste mogelijkheid (meisje-meisje) af; gegeven is immers dat er ten minste één jongen is. Van de drie overbijvende mogelijkheden is er één waarbij beide kinderen een jongen zijn. De kans dat meneer Smith twee jongens heeft, gegeven dat er ten minste één jongen is, is dus gelijk aan 1/3.
De dinsdagvariant
Terug naar het probleem waarbij gegeven is dat er ten minste één jongen is die op dinsdag is geboren. Wat doet het feit dat die zoon op een dinsdag ter wereld is gekomen? Welnu, dat doet er alles toe! Daartoe passen we het bovenstaande schema op een vernuftige manier aan:
Als het oudste kind een op dinsdag geboren jongen is, zijn er 14 mogelijkheden voor de sexe en de geboortedag van het jongste kind (in het schema de mogelijkheden in de tweede rij, steeds het derde en vierde geval). Als het jongste kind een op dinsdag geboren jongen is, zijn er eveneens 14 mogelijkheden voor de sexe en de geboortedag van het oudste kind (in het schema de mogelijkheden in de tweede kolom, steeds het tweede en vierde geval). Maar let op: het vierde geval in de tweede kolom hadden we reeds geteld. In totaal zijn dus 14 + 13 = 27 mogelijkheden. Van al deze mogelijkheden zijn er 13 waarbij beide kinderen een jongen zijn. Dat betekent dat de kans dat meneer Smith twee jongens heeft, gegeven dat er ten minste één jongen is die op dinsdag is geboren, gelijk is aan 13/27. Een opmerkelijk resultaat: 13/27 ligt veel dichter bij 1/2 dan bij 1/3!
Gathering 4 Gardner
Het probleem van de kinderen van meneer Smith werd in maart van dit jaar door Gary Foshee gepresenteerd bij Gathering 4 Gardner, een evenement dat sinds 1994 elke twee jaar wordt georganiseerd ter ere van ’s werelds beroemdste persoon van de recreatieve wiskunde Martin Gardner, die op 22 mei, twee maanden na de conferentie, overleed op 95-jarige leeftijd. Van de mensen in het publiek, dat voor een groot deel uit beroepswiskundigen bestond, waren de meesten er in eerste instantie van overtuigd dat het dinsdagaspect volstrekt niet relevant is. Ze luisterden vol ongeloof naar het verhaal van Foshee, maar lieten zich langzaamaan toch overtuigen.
Zie ook:
- When intuition and math probably look wrong (Eng.)
- Tuesday Boy (Eng.)
- Hommeles over drie deuren (nog zo’n verraderlijk kansvraagstuk)
- Kansen en niet-transitiviteit (nog meer tegenintuïtieve kansrekening)