Je leest:

De geheimen van taxinummers

De geheimen van taxinummers

Auteur: | 20 juni 2008

Waarom is 933528127886302221000 een bijzonder getal? Omdat het het kleinste getal is dat op tien manieren te schrijven is als som of verschil van derdemachten. Dit bewees Uwe Hollerbach deze maand. Eerder dit jaar werd bewezen dat 24153319581254312065344 het kleinste getal is dat op zes manieren kan worden geschreven als som van twee derdemachten. We hebben hier te maken met zogeheten Cabtaxi- en Taxicab-getallen, die hun naam danken aan een grappige anekdote.

De Engelse wiskundige Godfrey Harold Hardy (1877-1947) haalde in 1913 het Indiase genie Srinivasa Ramanujan (1887-1920) naar Engeland. Toen Hardy hem eens met een taxi opzocht in het ziekenhuis, merkte hij op dat het nummer van de taxi oninteressant was geweest: 1729. ‘Nee, dat is juist een heel interessant getal,’ moet Ramanujan toen hebben opgemerkt. ‘Het is het kleinste getal dat op twee manieren kan worden uitgedrukt als een som van twee derdemachten. Het is de som van 1 × 1 × 1 en 12 × 12 × 12, en ook van 9 × 9 × 9 en 10 × 10 × 10.’

Links: Hardy, rechts: Ramanujan. Onder: twee aantekeningen van Ramanujan

Taxicab-getallen

De anekdote van Ramanujan en Hardy’s taxinummer heeft de wiskunde twee begrippen rijker gemaakt: ‘taxicab-getal’ en ‘cabtaxi-getal’. Wiskundigen bedoelen met ‘Taxicab( n)’ het kleinste getal dat op precies n manieren als som van twee positieve derdemachten kan worden geschreven. Taxicab(1) is snel gevonden: dat is 2, want het is gelijk aan 13 + 13. Taxicab(2) kennen we van Ramanujan: 1729 = 13 + 123 = 93 + 103. Deze eigenschap van 1729 was al een paar eeuwen vóór Ramanujan opgemerkt. Voor zover we kunnen nagaan, werd het voor het eerst opgemerkt in 1657 door de Franse wiskundige Bernard Frénicle de Bessy (1605-1670).

Bernard Frénicle de Bessy was waarschijnlijk de eerste die opmerkte dat 1729 het kleinste getal is dat op twee manieren te schrijven is als som van twee derdemachten. De bovenste afbeelding is een fragment uit Wallis’s Commercium Epistolicum, Epistola X, Oxford, 1693. Sinds Ramanujans opmerking naar aanleiding van Hardy’s ‘saaie’ taxinummer, heet 1729 ‘Taxicab(2)’.

Taxicab-getallen groeien razendsnel. Taxicab(3) heeft al acht cijfers: 87539319 = 1673 + 4363 = 2283 + 4233 = 2553 + 4143. Dit werd ontdekt in 1957 door John Leech (1926-1992), waarbij hij gebruik maakte van de computer. Ondanks de snelle computers van tegenwoordig, zijn er op dit moment nog maar zes Taxicab-getallen bekend, zie onderstaande figuur. Het vierde en vijfde Taxicab-getal werden gevonden in respectievelijk 1991 en 1997. Een getal dat op zes manieren te schrijven is als som van twee derdemachten werd gevonden in 2002, en in maart van dit jaar werd bewezen dat het het kleinste getal is met die eigenschap.

Tot op heden zijn er zes Taxicab-getallen bekend

Hoewel we de Taxicab-getallen vanaf 7 niet met zekerheid kennen, kunnen we er wel het een en ander over zeggen. Ten eerste bewezen G.H. Hardy en E.M. Wright in 1954 dat Taxicab( n) voor élke waarde van n bestaat. Van de getallen Taxicab(7) tot en met Taxicab(19) zijn al bovengrenzen bekend. Bijvoorbeeld: het getal 24885189317885898975235988544 is op zeven manieren te schrijven als som van twee derdemachten, maar we weten nog niet zeker of dit het kleinste getal is met die eigenschap.

Varianten op Taxicab-getallen

Eenmaal aan het rekenen geslagen, zijn veel wiskundigen niet meer te houden. Hoe zit het als we alleen naar sommen van priemgetallen tot de derdemacht kijken? De priemversie van Taxicab(2) is 6058655748 = 613 + 18233 = 10493 + 16993. De priemversie van andere Taxicab-getallen zijn vandaag de dag nog allemaal onbekend!

Een andere leuke variant is: hoe zit het als we geen derdemachten nemen, maar vierdemachten? Het kleinste getal dat op twee manieren kan worden geschreven als som van vierdemachten wist Leonhard Euler (1707-1783) al: 635318657 = 594 + 1584 = 1334 + 1344.

François Viète vond Cabtaxi(2) in 1591

Cabtaxi-getallen

Een andere variant waar veel getaltheoretici door gegrepen zijn, zijn de zogeheten ‘Cabtaxi-getallen’. Deze getallen zijn niet alleen opgebouwd uit sommen van derdemachten, ook verschillen worden hierbij toegestaan.

Met Cabtaxi( n) noteren we het kleinste getal dat op n manieren te schrijven is als som of verschil van twee derdemachten. Cabtaxi(2) werd gevonden door François Viète in 1591, het is 91 = 33 + 43 = 63 – 53. Euler was waarschijnlijk de eerste die een kandidaat voor Cabtaxi(3) vond: 165464 = 873 – 793 = 203 + 543 = 383 + 483. Dit getal bleek niet het ware Cabtaxi-getal te zijn, dit werd gevonden in 1902 door de Amerikaan Edward Escott: 728 = 123 – 103 = 93 – 13 = 83 + 63.

Het duurde sinds de ontdekking van Escott negentig jaar totdat het volgende Cabtaxi-getal werd gevonden, maar toen ging het hard. Tussen 1992 en 2005 werden Cabtaxi(4) tot en met Cabtaxi(9) gevonden. Een kandidaat voor Cabtaxi(10) werd in 2006 gevonden, en deze maand bewees Uwe Hollerbach, met behulp van de computer, dat die kandidaat het ware tiende Cabtaxi-getal is: 933528127886302221000, zie onderstaande afbeelding.

Het tiende Cabtaxi-getal. Klik op de afbeelding om de eerste tien Cabtaxi-getallen op een rijtje te zien.

Recreatie of nuttig?

Wiskundigen houden van puzzelen en sommigen kan het weinig schelen of hun werk de wereld werkelijk verbetert. Andrew Wiles werd in 1994 in één klap beroemd toen hij de Laatste Stelling van Fermat bewees. Deze stelling uit de getaltheorie heeft op zichzelf geen praktische waarde, maar het heeft de wiskunde wel degelijk rijker gemaakt, doordat Wiles verbanden wist te leggen tussen verschillende gebieden uit de wiskunde. Dat geldt wel vaker in de wiskunde en zo ook voor het onderzoek naar Taxicab- en Cabtaxi-getallen: ze zijn zelf niet direct voor toepassingen van belang, maar ze stimuleren wel het ontwikkelen van algemeen bruikbare wiskundige theorie.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 20 juni 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.