Je leest:

De dubbele slinger

De dubbele slinger

Wat chaos is hoeven we je waarschijnlijk niet eens uit te leggen. Misschien is je kamer thuis wel een goed voorbeeld. Dan weet je ook wel dat chaos geen wanorde betekent. Je moeder zal van mening zijn dat je vaker moet opruimen, maar zelf kun je alles in je kamer terugvinden!

Wat chaos is hoeven we je waarschijnlijk niet eens uit te leggen. Misschien is je kamer thuis wel een goed voorbeeld. Dan weet je ook wel dat chaos geen wanorde betekent. Je moeder zal van mening zijn dat je vaker moet opruimen, maar zelf kun je alles in je kamer terugvinden!

Chaotische processen

Vroeger werden veel processen als chaotisch, onvoorspelbaar en willekeurig beschouwd: het druppelen van een kraan, het weer, het ontstaan van wolken, wervelingen in vloeistofstromen. Sinds de komst van de computer kunnen we dergelijke processen goed bestuderen. Als voorbeeld van een chaotisch proces bekijken we in dit artikel de beweging van de dubbele slinger. Dit is een slinger waar aan de onderkant een tweede slinger is gehangen. Zo’n slinger kun je in principe zelf maken.

Slingers

Iedereen weet hoe een enkele slinger zich gedraagt: heel voorspelbaar. Denk aan de slinger van een hangklok, deze gaat zeer regelmatig heen en weer, heen en weer… Geef je daarentegen de dubbele slinger een flinke uitslag, dan beweegt hij wild en onvoorspelbaar. De tweede arm van de slinger lijkt op een eigenzinnige manier rond te dansen: het ene moment voert hij gracieuze pirouettes uit, het andere moment een wilde tarantella.

Patronen

Om deze wilde bewegingen te demonstreren hebben we aan het eind van de tweede arm een lampje gemonteerd en de beweging ervan in een donkere kamer gefotografeerd. De resulterende lichtpatronen zijn complex en keer op keer verschillend: je krijgt nooit twee keer hetzelfde patroon.

Een chaotisch dynamisch systeem

Het gedrag van de dubbele slinger illustreert goed wat we met chaos bedoelen. Hoewel de beweging van de slinger wiskundig goed te beschrijven is, kunnen we het slingergedrag niet voorspellen. De dubbele slinger is een voorbeeld van een chaotisch dynamisch systeem. We gaan uitleggen wat dit precies betekent. regel Wat is een dynamisch systeem? Voor een dynamisch systeem zijn twee dingen van belang: wat bepaalt de toestand en wat zijn de bewegingsvergelijkingen. De toestand in het geval van de dubbele slinger zijn de posities en snelheden van beide armen. De bewegingsvergelijkingen zijn de formules die, uitgaande van een gegeven toestand, de toekomstige toestand bepalen. Deze vergelijkingen zijn bij de dubbele slinger nogal ingewikkeld. regel De enkele slinger en de dubbele slinger zijn voorbeelden van dynamische systemen. De enkele slinger is niet chaotisch: je kunt de beweging ervan precies voorspellen, ook op de lange termijn. De beweging van de dubbele slinger is w\’el chaotisch: een klein verschil in de aanvangspositie of aanvangssnelheid leidt al na een paar slingerbewegingen tot een compleet ander slingerpatroon.

Dynamische systemen

Het is erg moeilijk om de slinger twee keer dezelfde startpositie en startsnelheid te geven. Dit lukt net niet helemaal, waardoor al na een paar slingerbewegingen een compleet ander lichtpatroon ontstaat. Zelfs met de nauwkeurigste apparatuur krijg je nooit exact dezelfde startpositie en startsnelheid; er treden altijd meetfouten en miniem kleine trillingen op en een positieverschil van 10^-12 millimeter kan al na enige tijd tot een totaal verschillende slingerbeweging leiden. Kortom: “kleine oorzaken, grote gevolgen”. Dit heet gevoelige afhankelijkheid van de begintoestand.

Wat is nu chaos?

Chaos is onvoorspelbaar lange-termijn-gedrag dat optreedt in een dynamisch systeem door gevoelige afhankelijkheid van de begintoestand.

Chaotische dynamische systemen zijn dus niet willekeurig. Ze hebben de volgende kenmerkende eigenschappen:

1.Chaotische systemen zijn deterministisch. Dit betekent dat een of andere vergelijking het gedrag volledig bepaalt. Zou je bij de dubbele slinger een experiment kunnen herhalen vanuit precies dezelfde aanvangspositie en aanvangssnelheid, dan zou je precies hetzelfde slingerpatroon krijgen.

2.Chaotische dynamische systemen zijn gevoelig voor kleine veranderingen in de begintoestand. De kleinste verandering in startpositie of startsnelheid leidt bij de dubbele slinger al na een tijdje tot enorme verschillen. Dit maakt het gedrag op de lange termijn onvoorspelbaar: als je de slinger een flinke zet geeft, kun je met geen mogelijkheid voorspellen waar deze zich na 15 seconden bevindt.

Voorspelbaarheid

De beweging van de dubbele slinger is perfect voorspelbaar als we de begincondities exact kennen. Als we bijvoorbeeld de beweging van de dubbele slinger in de computer simuleren, dan geeft twee keer hetzelfde experiment precies hetzelfde slingergedrag. In de praktijk is de beweging ook voorspelbaar op de korte termijn. Zo zal de slinger als je hem loslaat altijd eerst naar beneden vallen. Maar daarna komt hij weer omhoog en wordt de beweging al snel onvoorspelbaar.

Als een gevolg van de lange-termijn-onvoorspelbaarheid kan het gedrag van de dubbele slinger onregelmatig en wanordelijk lijken. Maar chaos is zeker niet (zoals de naam suggereert) complete wanorde; het is wanorde in een deterministisch dynamisch systeem, dat altijd voorspelbaar is op de korte termijn. Bovendien leert nadere bestudering vaak dat er binnen een chaotisch systeem wel degelijk van een zekere orde en regelmaat sprake is. Veel processen in onze wereld zijn chaotisch, de regelmaat van de enkele slinger is een uitzondering. In de echte wereld regeert de chaos!

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 17 mei 1998

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.