Iedereen heeft in zijn kindertijd wel eens geschommeld. Eerst werd je aangeduwd door je vader of moeder, daarna leerde je zelfstandig schommelen. Om al schommelend in beweging te blijven moet je de wrijvingskracht overwinnen. Als je geduwd wordt, gebeurt dit door een kracht van buiten, maar hoe overwin je de wrijvingskracht als je op eigen kracht schommelt? Dat doe je door tijdens het schommelen niet stil te zitten, maar afwisselend je benen te strekken en in te trekken. Als je jezelf opvat als onderdeel van de schommel, verander je door te bewegen dus steeds de lengte van de schommel.

Probeer maar eens de slingerbeweging van een slinger aan een touwtje in stand te houden door de lengte van het touwtje te variëren. Laat het touwtje door een vrijhangend ophangoog lopen, geef de slinger een uitwijking en trek met regelmatige tussenpozen het touwtje op en neer. Hoe moet je het touw precies op en neer bewegen?

In dit artikel bekijken we een wiskundig model van een schommel, waarbij met een vaste regelmaat de lengte van de schommel afwisselend groter en kleiner wordt. Het is niet zo moeilijk om een formule op te stellen die de beweging van de schommel beschrijft en met een computer kunnen we deze vergelijking oplossen. Er zijn heel veel verschillende oplossingen: bij elke beginpostitie en elke beginsnelheid van de schommel precies één. Elke oplossing is een mogelijk bewegingspatroon van de slinger, dit noemen we een baan van de schommel. In onderstaande figuur zijn drie van deze banen weergegeven.

Het fasediagram

Om de verschillende schommelpatronen beter te begrijpen, gaan we de schommelbeweging op een andere manier weergeven, namelijk met een fasediagram. We beginnen met het eenvoudigste geval, dat van de slinger.

Een slinger is een schommel zonder schommelaar: een gewicht hangend aan een staafje dat scharniert in een verticaal vlak. De positie van de slinger geven we aan met een hoekcoördinaat phi, dat is de hoek die de slinger maakt met de vertikale as. Deze hoek meten we in radialen. Als de slinger beweegt, dan is phi een functie van de tijd t. De hoeksnelheid omega is de afgeleide van deze functie: omega(t)=phi’(t)}. Als we de slinger een kleine uitwijking geven en loslaten, dan slingert hij gewoon heen en weer. Omdat phi een functie is van t, kunnen we een t-phi-diagram maken:

We zien dat de beginuitwijking postief is en dat de uitwijking afwisselend negatief en positief wordt. Ook omega is een functie van t, dus we kunnen ook een t-omega-diagram maken:

De beginsnelheid is nul en de snelheid wordt afwisselend postief en negatief. Een derde mogelijkheid is het maken van een phi-omega-diagram. Daarin tekenen we op elk tijdstip t de positie phi en de snelheid omega weer

Het punt A is het beginpunt van de beweging: daar is de uitwijking positief en de snelheid nul. De beweging van de slinger volgt de richting van de pijl: de uitwijking wordt steeds kleiner en de snelheid groter (maar negatief). Daarna neemt de snelheid weer af en wordt de uitwijking weer groter (maar negatief). In het punt B heeft de slinger een halve slingerbeweging afgelegd, daar is de uitwijking maximaal negatief en de snelheid nul. Eén complete slingerbeweging correspondeert dus met het volledig doorlopen van de ovaal in het phi-omega-diagram. We noemen het phi-omega-vlak het fasevlak van de slinger en de beweging van de slinger daarin het fasediagram.

In figuur 3 zijn in het phi-omega-vlak} een aantal verschillende fasediagrammen van de wrijvingsloze slinger samengebracht. Zo’n afbeelding heet een faseportret. Elke lijn correspondeert met een bewegingsmogelijkheid van de slinger en met een pijl geven we de richting van de beweging aan. Omdat er geen wrijving is, is langs zo’n lijn de energie van de slinger constant. In het faseportret kunnen we de verschillende bewegingspatronen van de slinger herkennen.

Als de slinger niet al teveel energie heeft, dan slingert de slinger gewoon heen en weer en is zoals we al gezien hebben het bijbehorende fasediagram ovaalvormig.

Een heel ander type beweging treedt op als de slinger veel meer energie krijgt. Bij één energieniveau horen dan twee lijnen, één boven de phi-as en één eronder. De beweging die hierbij hoort is die van een over de kop slaande slinger, linksom boven de phi-as en rechtsom eronder. De kruispunten in het faseportret bij horen het ‘evenwichtspunt’ (phi,v) = (±pi, 0), waarbij de slinger stilstaat op z’n kop. Dit is natuurlijk geen stabiel evenwicht: een klein duwtje is genoeg om een ander bewegingstype te krijgen. Als de energie van de slinger nul is, dan hangt de slinger stil in z’n onderste evenwicht.

Wat gebeurt er als de slinger wel wrijving ondervindt? In figuur 4 hebben we met een computer een fasediagram van een ‘gedempte’ slinger getekend. Vrijwel alle bewegingen dempen uit in het onderste evenwicht (phi,omega)=(0,0), zoals je misschien wel verwacht had.

Stroboscopische fasediagrammen

We tekenen nu het fasediagram van de wrijvingsloze schommel. Nemen we baan 1b uit figuur 1, dan krijgen we de volgende kluwen van lijnen te zien:

We passen daarom een truc toe. In plaats van het hele fasediagram tekenen we slechts een aantal losse punten, als volgt. We herinneren eraan dat in ons model de slingerlengte met een vaste regelmaat afwisselend groter en kleiner wordt. Volg nu in het fasediagram de schommelbeweging. Steeds als de schommellengte maximaal is zetten we een puntje, dat wil zeggen, plotten we de positie en snelheid. Een aantal van zulke periodieke of ‘stroboscopische’ waarnemingen zijn in de bovenstaande lijnenkluwen getekend. Zoiets heet een stroboscopisch fasediagram. Er verschijnt opeens een patroon: de getekende punten vormen samen een infinity-figuur (oneindigheidsteken).

Figuur 5 is een stroboscopisch faseportret. Hierin zijn een een aantal stroboscopische fasediagrammen samengebracht. Als je goed kijkt kun je nog enige sporen van het fasediagram van de slinger zien: het onderste evenwicht (phi,omega)=(0,0)} is instabiel en wordt als het ware vervangen door de infinity-figuur. Over dit stroboscopisch faseportret zouden we heel veel kunnen vertellen; in dit artikel hebben we slechts ruimte om twee details toe te lichten.

De grote puntenwolk buiten het infinity-figuurtje hoort bij baan 1c. Het zal je niet verbazen dat deze baan chaotisch is – als we een andere baan nemen met bijna dezelfde beginpositie en snelheid, dan krijgen we uiteindelijk ongeveer dezelfde puntenwolk te zien, maar de puntjes worden in een heel andere volgorde doorlopen. De slinger springt als het ware op een totaal andere manier door de wolk heen.

Binnen het infinity-figuurtje is er sprake van orde. De pupillen van de twee ‘ogen’ horen bij baan 1a, de meest regelmatige beweging van de schommel. In dit geval treedt resonantie op. Binnen één schommelbeweging wordt de schommel twee keer langer en korter. Van één schommelbeweging worden twee stroboscopische waarnemingen gedaan, vandaar dat twee pupillen bij één baan horen.

Hieronder zie je hoe bij baan 1a de schommellengte variëert met de uitwijking: in het onderste punt is de schommel het kortst, aan de uiteinden van de beweging is de schommel het langst.

Een toepassing hiervan is de beweging van een wereldberoemd wierookvat in het bedevaartsoord Santiago de Compostela. Dit grote wierookvat wordt bij speciale gelegenheden aan een lang touw al brandende aan het schommelen gebracht. Door het touw waaraan het wierookvat hangt twee keer op en neer te bewegen in één slingertijd van het vat ontstaat een schommelbeweging, die flink kan worden opgezweept.

Wrijving

Wat gebeurt er tenslotte als in ons model de schommel wrijving ondervindt? Het bijbehorende stroboscopische fasediagram staat in figuur 6. Hier is slechts één stroboscopische rij afgebeeld. De meetkundige structuur van het diagram lijkt op een veelvuldig opgevouwen lijn. Opeenvolgende punten liggen niet netjes achter elkaar, maar springen chaotisch over deze figuur heen en weer. Als we een ander beginpunt hadden genomen, was afgezien van de eerste paar punten hetzelfde plaatje ontstaan. Het object trekt als het ware alle beginpunten uit de buurt ervan naar zich toe. We spreken wel van een strange attractor. Deze meetkundige structuur heeft veel weg van de Hénon-attractor, een ander voorbeeld van een vreemde aantrekker.