Wiskundigen vinden het geweldig dat een voetbal twaalf regelmatige vijfhoeken en twintig zeshoeken telt. So what, zou u denken. Maar een wiskundig spel met deze veelvlakken heeft raakvlakken met de architectuur, chemie en nanotechnologie. Denkt u even mee…
Stel dat geen regelmatige vijfhoeken worden gebruikt, maar regelmatige driehoeken – met andere woorden: gelijkzijdige driehoeken. Dat levert een afgeknot (‘afgesneden’) regelmatig viervlak op, waarvan het origineel voor het afsnijden een piramide was met een driehoekig grondvlak. Als vierkanten op analoge wijze omringd worden door zeshoeken, krijg je een afgeknot regelmatig achtvlak. Dat laatste bestaat uit acht gelijkzijdige driehoeken, alsof het twee piramides zijn die op elkaars vierkantig grondvlak staan. Een hoekpunt wordt afgesneden zodat op de zijvlakken regelmatige zeshoeken ontstaan. Met deze afgeknotte acht- en viervlakken zal echter niet veel voetbal worden gespeeld, tenzij door teams die de nul op het scorebord willen houden.
Terug naar de echte voetbal met zijn twaalf vijfhoeken en twintig zeshoeken. Het veelvlak kreeg zijn naam van ‘afgeknot twintigvlak’ omdat het ontstaat door de hoeken van een twintigvlak af te snijden. De Amerikaanse wiskundige John Conway kwam onlangs op de proppen met een nieuwe vondst: het is ook mogelijk vijfhoeken zo door zeshoeken te omringen dat de zijden evenwijdig zijn. De zeshoeken hebben dan zes gelijke zijden, maar geen zes gelijke hoeken (waar zeshoeken elkaar ontmoeten is de hoek ongeveer 116°, elders 121°). Bij het opblazen tot een bal is dat euvel nauwelijks zichtbaar, en het is dus een idee voor een alternatieve voetbal.
Wiskundige rebellen
Wat gebeurt er nu als je met zes of zevenhoeken werkt in plaats van met vijfhoeken? Een zeshoek met zeshoeken omringen doet denken aan een honingraat en laat inderdaad toe vlakke oppervlakken te bedekken, al kunnen ze een beetje gekromd zijn zoals bij een cilinder of een kegel. Met zevenhoeken moeten de veelvlakken te veel worden geplooid, wat dus niet helemaal volgens de regels schijnt. Toch was de ‘hyperbolische voetbal’, een uitvinding van wiskundeleraar Keith Henderson, een aangename verrassing, want de bal bleek mooi te kunnen dienen als model voor de zogenoemde hyperbolische meetkunde, zie het onderstaande kader.
De Amerikaanse wiskundige Daina Taimina omzeilt dan weer het plooien: deze math corcheter haakt het gecreëerde oppervlak. De rebelse geest kan ook verkiezen om de zeshoeken overboord te gooien en alleen vijfhoeken te behouden: het veelvlak wordt een regelmatig twaalfvlak. Als je de zeshoeken vervangt door driehoeken en toch de vijfhoeken behoudt, dan wordt het een zogenoemd stomp twaalfvlak. Er zijn nu twee mogelijkheden voor een dergelijke ‘stompe voetbal’: zelfs al ligt de bovenste vijfhoek in dezelfde positie, dan zijn er toch twee draairichtingen voor de andere zijvlakken.
Een wiskundig spel kan erin bestaan de voorgaande mogelijkheden te combineren. Een ‘stompe kubus’ volgt hetzelfde principe als een stompe voetbal, maar nu vertrekkend van vierkanten. Ook nu zijn er weer twee mogelijkheden, en het verschil is belangrijk: slechts tegengesteld draaiende stompe kubussen geven een ruimtevullende opstelling. Een andere mogelijke combinatie is een ‘Siamese voetbal’, waarbij de overgang tussen beide ballen door zevenhoeken gebeurt.
Toepassingen
De tegengesteld draaiende voetballen verwijzen naar een merkwaardige wiskundige observatie in de geneeskunde: sommige moleculen zijn een geneesmiddel in één draaiende vorm, terwijl hun identieke equivalenten in spiegelbeeld ronduit giftig zijn. Meer filosofisch is de beschouwing dat er ‘evenveel’ tegengesteld draaiende stompe kubusvoetballen nodig zijn om de ruimte te vullen (zie tekening), maar dat het bekende universum merkelijk wel meer moleculen bevat die in één richting draaien. Is god links- of rechtshandig?
Meer down to earth hebben de creatieve voetballen toepassingen in de bouw: de zogenoemde Fullerdomes of Buckyballs gebruiken het principe van de ‘stompe voetbal’ om met nog meer driehoeken of zeshoeken een bolvorm te benaderen. Een actueel voorbeeld is het Eden Project in het Engelse Cornwall, waar een aantal koepels aan elkaar gelast werden door brede rechthoekige stroken, tot ontzetting van sommige architecten, die koepels liever met zevenhoekige cellen aan elkaar geschakeld zien, zoals bij de ‘Siamese voetballen’.
In de architectuur is een constructie met niet alleen vijf- en zeshoeken maar ook zevenhoeken nog vrij nieuw, maar niet in de nanotechnologie. Vijfhoeken laten toe bolvormige afrondingen in nanobuisjes te maken, terwijl zeshoeken de vlakke, cilinder- en kegelvormige stukken beschrijven, en zevenhoeken de holtes vormen. In de chemie is er zelfs een hele familie moleculen die Fullerenes heten. Ook de stap naar het DNA is klein: op elkaar geplaatste regelmatige twaalfvlakken kunnen twee in elkaar verstrengelde spiralen geven, zoals bij DNA. Dat inspireerde de Amerikaanse kunstenaar Jon Barlow Hudson tot het beeld ‘Double Helix: Flowing Balance’, dat prijkt aan de Wright State University in Dayton, Ohio. De spiraalconstructie kan trouwens ook met ‘echte’ voetballen gebeuren. In tijden van voetbalkampioenschappen plaatst dit een populaire uitspraak in een ander daglicht, namelijk dat iemand, of een land, ‘voetbal in de genen heeft’.