Je leest:

Daubechies’ schildersoog

Daubechies’ schildersoog

Auteur: | 19 juni 2012

Haar ‘wavelets’ werden al toegepast door het FBI en de digitale filmindustrie, maar nu toont wiskundige Ingrid Daubechies hoe ook de studie van meesterwerken baat vindt bij de mathematica.

Ingrid Daubechies is de internationaal gerenommeerde wiskundige uit het Belgische Houthalen, die promoveerde aan de Vrije Universiteit Brussel en daarna naam maakte met de naar haar genoemde wavelets. Ze volgde haar echtgenoot Robert Calderbank naar de VS, waar ze na een tussenstop als eerste vrouwelijke ‘tenure’ wiskundige ooit in Princeton, nu werkt aan de Duke University in Durham, North Carolina. Haar wavelets vonden een toepassing in het JPEG-2000-formaat, dat nu de standaard is voor de digitale film in Europa en de VS. Ook het FBI doet er een beroep op voor het beheer van haar immense bestand met vingerafdrukken (zie kader Wat zijn ‘wavelets’? verderop).

Fragment van de Triptiek ‘Opdracht van Jezus in de tempel’, van Goossen Van der Weyden.

Beelden en hun wiskundige verwerking bleven haar voorkeursonderwerp, maar nu richt ze ook haar aandacht op digitalisaties van schilderkunst, van Vincent Van Gogh over Goossen van der Weyden tot de gebroeders Van Eyck.

Kopie of origineel?

De computerverwerking van digitale beelden van kunstwerken is een opkomend en snel uitbreidend interdisciplinair vakgebied. In 2007 nam Daubechies deel aan de ‘IP4AI’ workshop in Amsterdam, mede opgezet door het Van Gogh Museum. ‘IP4AI’ staat hierbij voor ‘Image Processing for Art Investigation’. Hier werd gerapporteerd over een uitdaging uitgeschreven door het tv-programma Nova: wie kon een kopie van een Van Gogh onderscheiden van een aantal echte werken? De kopie zou gemaakt worden door een kunstenares, de Nederlandse specialiste in schilderijenrestauratie Charlotte Caspers.

Daubechies dacht dat haar waveletanalyse van in hoge resolutie gedigitaliseerde kopieën van de schilderijen zou toelaten de kenmerken te analyseren van de schilderijen, op het resolutieniveau dat hen het best past. Ze zou de verdeling van de waveletcoëfficiënten bestuderen om verschillen in stijl of in penseelstroken te beschrijven. Bij een kopie zou dan moeten blijken dat de penseelstroken eerder aarzelend werden geschilderd. Op deze wijze identificeerde ze het schilderij van het graan rapende kind in het veld (onderstaande figuur, tweede rij links) als de kopie. Het was een schot in de roos, maar de vreugdekreten van haar onderzoeksgroep waren voorbarig.

‘Welk doek is geen echte Van Gogh?’, vroeg het tv-programma Nova.
Van Gogh Museum Amsterdam / Charlotte Caspers

Ontkenning en bevestiging

Immers, in de tweede editie van deze workshop in New York, deze maal in samenwerking met het MoMA, stond de deelnemers een nog moeilijkere uitdaging te wachten. Nu werd een bijkomende verzameling van 21 schilderijen voorgesteld, waarvan één een kopie was gemaakt door een (bijna) tijdgenoot van Vincent Van Gogh. Snel ontstond enige paniek: alle penseelstreken in de nieuw toegevoegde 21 schilderijen bleken zowaar op ‘aarzelende’ wijze geschilderd, wanneer ze werden vergeleken met de zes eerdere schilderijen. Daubechies begreep niet waarom en geconfronteerd met het raadsel stelde ze uiteindelijk de vraag aan de organisatoren van de wedstrijd. Het antwoord was merkwaardig: de nieuwe beelden waren verschillend omdat ze gemaakt waren met een nieuwe scanner! Tja.

Dat deed een akelig vermoeden rijzen: hadden ze het vorige jaar juist geraden om de verkeerde reden? Om hierover uitsluitsel te krijgen, ontwikkelde het team van Daubechies een nieuwe techniek, waarbij een extreem fijnschalige studie de hoeveelheid ‘blur’ of ‘vage vlekken’ in de beelden zou meten door zich te baseren op de randen, de hoeken en de uiteinden van de lijnen. Een ‘blur’-index van 0 staat dan voor een haarscherp beeld, en 1 voor een beeld dat alleen een grote wazige vlek is. Voor de zes schilderijen uit de eerste IP4AI-bijeenkomst, vond de groep rond Daubechies de volgende blur-indexen: 0,90; 0,98; 0,65; 0,10; 0,90; 0,93. De kopie had duidelijk de laagste blur-index. Zo raakte de hypothese ‘a posteriori’ toch bevestigd, en werd het uiteindelijk toch een succesvol congres.

Bij de eerste ongegronde treffer had Daubechies’ team echter toch ontdekt wat er ‘anders’ was aan het ‘Rapertje’, vergeleken met de vijf andere doeken: de foto was recenter genomen en daardoor scherper. Konden ze dan wel een kopie detecteren?

Om het nut van de wavelet-techniek bij het herkennen van de originaliteit van schilderijen verder te onderzoeken, besloot Daubechies een nieuw validatie-experiment op te zetten, dat ze zelf helemaal zou controleren, zonder tussenpersonen en zonder bijkomende technische moeilijkheden. Charlotte Caspers zou zeven paren schilderijen maken, die onderling verschilden in gebruikte materialen, ondergrond, borstels en zelfs in stijl. In elk paar was er een origineel, namelijk een stilleven, en een naderhand gemaakte kopie, steeds geschilderd door Charlotte Caspers. Opmerkelijk was dat het Caspers de helft meer tijd kostte om de kopieën te maken dan om de originelen te schilderen. Er bleek dat waar Caspers zachte borstels gebruikte, er niet met zekerheid conclusies konden worden getrokken. Maar wanneer zachte én harde borstels werden gebruikt, konden de kopieën van de originelen worden onderscheiden met een juistheid van 86%! De eerste toevalstreffer van het ‘IP4AI’ kon op deze wijze toch worden gerechtvaardigd want de gevolgde methode bleek hoe dan ook correct.

Onder het schilderij ‘Grasgrond’ zat een tekening van een vrouwenhoofd. Van Gogh herbruikte wel vaker oude canvassen.
TU Delft/Universiteit Antwerpen/Kröller-Müller Museum

Onderliggende Van Gogh

Door haar deelname aan deze interdisciplinaire workshops was Daubechies wel in contact gekomen met Joris Dik van de Delftse Technology Universiteit. Met zijn Belgische collega Koen Janssens van de Universiteit Antwerpen was hij erin geslaagd een scherp beeld te krijgen van een tekening van het hoofd van een vrouw, gemaakt door Van Gogh, waar Vincent echter twee jaar later een ander werk bovenop had geschilderd, namelijk ‘Grasgrond’. Het was bekend dat onder het schilderij een beeld stond, want Van Gogh hergebruikte nogal eens een oud canvas, onder meer om geld te besparen. Bovendien had Van Gogh aan zijn broer geschreven dat hij er bijzonder goed in geslaagd was om een beoogd effect te creëren in het portret, en kunsthistorici hechtten daarom bijzonder belang aan dit onderliggende portret.

Dik en Janssens’ gebruik van de ‘Deutsches Elektronen-Synchrotron’ (DESY) in Hamburg (Duitsland) liet toe een nog beter beeld te vormen dan in eerdere schattingen van de tekenlijnen. In de verborgen laag op 0,06-0,10 millimeter onder de bovenste verf bepaalden ze de hoeveelheden van toenmalige verfcomponenten zoals antimoon (een element van het zogenaamde ‘Napels geel’), kwik en arseen (aanwezig in het vermiljoenrood), kobalt, lood en andere. Zo kwamen niet alleen de lijnen nog duidelijker tevoorschijn dan met eerdere technieken, maar ook de kleuren.

Een probleem was echter dat waar de verflaag in ‘Grasgrond’ dik was, de analysemethode gebaseerd op de zogenaamde ‘X-straalfluorescentie’, niet genoeg gegevens kon bezorgen. Daar kwamen dan zwarte vlekken te staan en zo kwam het dat Dik Daubechies aanzocht om het beeld te verbeteren met behulp van haar digitale technieken.

Diks team had pixel per pixel metingen gedaan, en dit veroorzaakte onnauwkeurigheden van synchronisatie waardoor er anomalieën ontstonden in de uitlijning. Daubechies’ team ontwikkelde hiervoor een speciaal wiskundig algoritme. Vervolgens gebruikten ze inkleuringstechnieken om de zwarte vlekken op te vullen. En uiteindelijk bepaalden ze de kleur nog beter door zich ook te steunen op de pallet die Van Gogh gebruikte voor zijn andere portretten die hij maakte in Nuenen. En ziedaar, een verdwenen Van Gogh was terug!

Wat zijn ‘wavelets’?

In 1822 schreef de Fransman Joseph Fourier de verhandeling ‘Théorie analytique de la chaleur’ (‘Analytische theorie van de warmte’), die letterlijk en figuurlijk voor deining zorgde. Hij beweerde dat zowat elk fenomeen als een combinatie van golven kan worden omschreven (zij het desnoods oneindig veel). Uit zijn theorie volgde als het ware dat ‘alles trilt’. De Fourieranalyse werd een verspreide wiskundige theorie, maar na verloop van tijd begonnen enkele nadelen op te vallen. Bij functies met een scherp verval zijn er soms een heleboel golven nodig voor een goede benadering wordt verkregen. In het gegeven voorbeeld werd wel een goede benadering verkregen voor de horizontale delen, maar aan het begin en het einde van elk horizontaal lijnstuk bleef de benadering toch steeds erg ruim.

Daubechies’ theorie biedt een oplossing om dit fenomeen te omzeilen. In plaats van een oneindig aantal eeuwig op en neer deinende golven te gebruiken, berust de waveletanalyse op de verschuiving en de uitrekking van een goed gekozen ‘moeder’-wavelet over een eindige, beperkte afstand. Er worden dus geen oneindig ver uitstrekkende deinende golven gecombineerd, maar golfpakketjes, ‘kikkervisjes’, zo men wil: golf-jes, oftewel wave-lets. Zo werd de beeldverwerking vereenvoudigd, volgens een procedure die meer en meer toepassingen vindt, zoals hier in de schilderkunst.

1. Een typische wavelet, genaamd ‘Mexicaanse hoed’. 2. Een functie met scherp verval. 3. De functie benaderd via 65 Fouriercoëfficiënten. 4. Dezelfde functie met slechts 18 waveletgetallen, en toch is de laatste beter.

Goossen van der Weyden

Een andere ontmoeting leidde dan weer tot het werk van Goossen of Goswin van der Weyden (Brussel, ca. 1465 – Antwerpen, 1538), de kleinzoon van de beroemdere Rogier van der Weyden. Daubechies had een ‘sabbatical’ aan de VUB en het VLAC, het Vlaams Academisch Centrum, waar ze kennismaakte met kunsthistoricus Maximiliaan Martens (UGent, VLAC). Martens is samen met zijn collega Marc De Mey betrokken bij de experimenten rond het Lam Gods. Het is Martens’ onderzoeksgroep die de door de Universiteit Gent te leveren wetenschappelijke ondersteuning bij de komende restauratie van het Lam Gods coördineert.

Tijdens een van hun ontmoetingen kwam Goossen van der Weyden ter sprake. Die schilderde een aantal werken voor de abdij van Tongerlo en de Sint-Gummaruskerk te Lier, en zijn triptiek Opdracht van Jezus in de tempel verhuisde zelfs naar Lissabon. Goossen van der Weyden gebruikte een grote variatie van verschillende stijlen voor zijn onderliggende tekeningen. Ze waren niet alleen een gevolg van bepaalde fasen in zijn loopbaan, maar konden aanwijzingen bevatten voor zijn medewerker die uiteindelijk dat deel van het werk zou schilderen (de meester werkte immers niet noodzakelijk alleen). Hoe kon het gecontroleerd worden dat een onderliggende tekenstijl consequent overeenkwam met het erop geschilderde deel, vroeg de wiskundige zich af? Kunnen de teken- en schilderkenmerken werkelijk mathematisch geklasseerd worden, of zijn het ‘allerindividueelste expressies van de allerindividueelste emoties’, zoals Willem Kloos het ooit zo mooi verwoordde?

Hierop kreeg het team van Daubechies een verzameling details van schilderijen met de overeenkomstige ondertekeningen en hun indeling. Ze ‘trainden’ een algoritme om de ermee overeenkomende stijlen van geverfde oppervlakken te onderscheiden. Daarna kregen ze zeven fragmenten van hen onbekende details van schilderijen, en werden ze gevraagd om te voorspellen welke de onderliggende tekenstijl zou zijn. Ja, wiskunde kan spannend zijn. Hun algoritme gaf waarschijnlijkheidspercentages waarmee een detail van een schilderij zou overeenkomen met een tekenstijl genummerd van 1 tot 4 (zie onderstaande tabel). Alleen de analyse voor het detail E stelde dus teleur. Daubechies’ team onderzocht wat hiermee aan de hand was, en er bleken twee stijlen tegelijk gebruikt. Haar techniek had dus onmogelijk uitsluitsel kunnen geven in dit geval. Van der Weydens teken- en schilderkenmerken waren dus werkelijk meetbaar.

Voor het vrouwenhoofd van Goossen Van der Weyden (detail E) gaf de methode van Daubechies’ team geen uitsluitsel, omdat twee tekenstijlen tegelijk werden gebruikt: stijl 1 (in het groen in de schets hierboven), en stijl 3 (rood).

Lam Gods

Nu past Daubechies haar methodes voor de verwerking van beelden ook toe op het Lam Gods van de gebroeders Van Eyck, en ondertussen betreffen haar technieken en die van haar teams ook niet alleen meer wavelets. Twee teams buigen zich nu samen met haar over de beeldverwerking in het kunstonderzoek, één aan de Universiteit Gent, onder leiding van Prof. Aleksandra Pižurica, Ir. Ljiljana Platiša, Ir. Tijana Ružic (afdeling TELIN-IPI-IBBT) en één aan de Vrije Universiteit Brussel, onder leiding van Ir. Bruno Cornelis en Prof. Ann Dooms (afdeling ETROIBBT). Op de website Closer to Van Eyck kan iedere belangstellende zelf zeer precieze beelden van het Lam Gods onderzoeken.

Wiskunde voor de maatschappij Ingrid Daubechies toont graag hoe de wiskunde ook praktische diensten kan bewijzen aan de maatschappij, en niet alleen op het gebied van digitale ‘wavelet’-cinema, FBI-vingerafdrukken of schilderkunst. Sinds twee jaar organiseert ze een project voor jongeren, Wiskunnend Wiske, waarmee ze de jeugd wil motiveren voor de wiskunde, en in het bijzonder de meisjes, de ‘Wiskes’. Leerlingen krijgen ‘indringende’ vragen die ze in klasverband oplossen. Daarna spelen ze een soort finale, op pi-dag (14 maart), op de campus van de Vrije Universiteit in Etterbeek.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van EOS Magazine.
© EOS Magazine, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 19 juni 2012

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.