Je leest:

Da Vinci of kopiist?

Da Vinci of kopiist?

Auteur: | 7 oktober 2012

Dat Leonardo da Vinci soms wiskundige fouten beging, was al eerder bekend. Maar ook bij de verwerking van Leonardo’s tekeningen in boekvorm gebeurden vergissingen. Vraag is wie ze beging.

In de Noord-Italiaanse stad Verona zijn in de sacristie van de kerk Santa Maria in Organo merkwaardige intarsia – houten inlegwerk – te zien, gewijd aan de wiskunde uit de tijd van de ontwerper, Fra’ Giovanni da Verona (1457-1525). Hij maakte ze tussen 1519 en 1523, nadat hij al van 1494 tot 1499 aan het gebouw zelf had gewerkt. Zijn intarsia zijn zo realistisch dat de afbeeldingen wel echte voorwerpen lijken in echte 3D-kasten. Ze zijn echter volledig vlak, gemaakt uit honderden verschillende houtsoorten die bij elkaar gehouden worden door een laag vernis. Over het perspectief circuleerden in Fra’ Giovanni’s tijd manuscripten van Brunelleschi en Piero della Francesca, maar de houtsnijder beschikte hier zelf niet over en leerde het vak eigenhandig. Blijkbaar kende hij wel het werk (De) Divina Proportione dat Luca Pacioli schreef tussen 1496 en 1498 en publiceerde in Venetië in 1509. De verschillende houtsnijwerken stellen immers figuren voor die in het boek te vinden zijn. Voor de intarsia van de afbeelding hieronder zijn dit de zogenoemde ‘Campanussfeer’, waaronder een icosaëder (een regelmatig twintigvlak) en een afgeknotte icosaëder te zien zijn.

Een houten inlegwerk van Fra’ Giovanni. De figuren die je in deze afbeelding kan zien zijn gebaseerd op tekeningen van Leonardo a Vinci. Maar er zit een fout in. Kan jij die vinden?
EOS

Opgeblazen tot een bol is de afgeknotte icosaeder, onderaan, niets anders dan een alledaagse voetbal – al is Fra’ Giovanni’s veelvlak natuurlijk kunstzinniger. Jaren geleden werden deze wiskundige houtinlegwerken al beschreven door Thomas Hartwig (Zwitserland) en Kim Williams (Italië) in The Mathematical Tourist, een rubriek waarvoor ik de redactie verzorg in het tijdschrift The Mathematical Intelligencer. Een vakreferent die het artikel verifieerde voor publicatie merkte op dat Fra’ Giovanni’s ‘voetbal’ een fout bevat: onderaan zie je een vierkant en geen zeshoek, zoals het zou horen. Een voetbal bevat immers alleen vijfhoeken en zeshoeken; de eerste zijn meestal zwart, de tweede wit.

De deskundige vroeg zich af of Fra’ Giovanni het misschien niet had aangedurfd om Pacioli’s werk aan te passen en aldus de grote da Vinci tegen te spreken. De tekening waarop Fra’ Giovanni zich gebaseerd had, stond immers in het boek van Luca Pacioli, en die illustratie was van Leonardo da Vinci. Deze laatste scheen precies dezelfde fout te hebben begaan: ook hij had een vierkant gebruikt in een tekening van een afgeknotte icosaëder. Maar toen het artikel werd voorgelegd voor publicatie was het nog niet bekend dat Leonardo ook al enkele wiskundige fouten had begaan. Vanwege het netelige karakter van de opmerking vermeldden de auteurs van het artikel daarom de naam van deze referent, al blijft die normaal gezien anoniem. Het betrof Benno Artmann, professor in Göttingen (Duitsland).

Fouten tegen geometrie, mechanica en rekenkunde

In Eos nr. 4 van april 2011 maakte ik een ontdekking van de Nederlandse wiskundige Rinus Roelofs bekend. Het ging over een fout van de geniale Leonardo da Vinci (Italië, 1452 – Frankrijk, 1519) op het gebied van de meetkunde. Het Eos-artikel kende internationale weerklank onder de titel ‘Lost in Triangulation: Leonardo da Vinci’s Mathematical Slip-Up’ op de web- site van Scientific American. Voor de niet- cinefielen: de titel was een woordspeling op ‘Lost in Translation’, een Amerikaanse film van Sofia Coppola uit 2003. Enkele maanden later was er een ‘sequel’: in ‘Eos Weekblad op iPad’ van 10 feb 2012 stond te lezen hoe de Homo universalis ook al eens zondigde tegen de analytische mechanica. Het artikel was gebaseerd op een publicatie van de ingenieurs Tibor Tarnai (die ook een wiskundige is) en András Lengyel van de Universiteit voor Technologie en Economie in Boedapest, Hongarije. Nadat hun artikel was ver- schenen in het gespecialiseerde Journal of Mechanics of Material and Structure’ (na- jaar 2011), hadden zij mij verzocht hun ontdekking eveneens een meer algemene internationale bekendheid te geven. Terloops viel mij op de bladzijde van de fout tegen de analytische mechanica nog een rekenfout op: Leonardo bleek 4.096 verdubbeld te hebben tot 8.092. Ook dit Eos-artikel kende daarna een internationaal vervolg: het verscheen in The Mathematical Intelligencer, een tijdschrift voor beroepswiskundigen, onder de titel ‘Lost in Enumeration: Leonardo da Vinci’s Slip-Ups in Arithmetic and Mechanics’. Misschien komt er nogmaals een vervolg: ‘Lost in Edition: Leonardo da Vinci’s Editorial Slip-Ups’?

Merkwaardig is ook dat de Campanussfeer en de icosaëder geen klakkeloze kopieën zijn van de soortgelijke illustraties van Leonardo, maar in andere posities zijn afgebeeld. In een ander houtwerk in de Santa Maria in Organo komt de Campanussfeer nog een keer voor, gezien vanuit nog een ander standpunt. Dit was in de tijd van de ontluikende perspectiefleer zeker niet vanzelfsprekend, en eigenlijk is dit zelfs vandaag nog niet het geval, zoals iedereen kan ondervinden bij het tekenen ervan zonder computer.

Niet onfeilbaar

De afgeknotte icosaëder staat wel in dezelfde positie als bij Leonardo, fout inbegrepen, maar verder bleef het toen bij de netelige opmerking van de referent. Twaalf jaar na de publicatie van het artikel over het houtinlegwerk zijn de tijden echter veranderd, want ondertussen bleek dat Leonardo da Vinci niet onfeilbaar was (zie ‘Fouten tegen geometrie, mechanica en rekenkunde’).

Maar de zaak blijkt ingewikkelder. Van Leonardo zijn immers twee voorstellingen van hetzelfde veelvlak bekend. Er is de kleurenafbeelding waar Fra’ Giovanni zich blijkbaar op had gebaseerd, met onderaan het foute vierkant, maar er bestaat ook een alternatieve, zo goed als foutloze zwart-witfiguur zonder dit euvel. Op de kleurenplaat staat nog een mysterieus onverklaarbaar lijntje onderaan, dat ook in de zwartwitversie een beetje té schuin staat, maar dit is een erg klein euvel. Er is echter nog iets merkwaardigers aan de hand: als je een van beide afbeeldingen spiegelt om een verticale as, komen beide beeldenperfect overeen. Bovendien zie je op deze wijze waar de verandering van de zeshoek in een vierkant vandaan komt: in het gespiegelde beeld in kleur ontbrak gewoon het lijntje voor de rechterzijde van de zeshoek, waardoor het plots een vierkant scheen.

Een extra lijntje werd wel aangebracht, maar op de verkeerde plaats, alsof de tekenaar niet goed wist waar het te plaatsen. Uit de tekst in het bordje bovenaan in de kleurenvoorstelling (YCOCEDRON – ABSCISUS VACUUS) of uit de stempel links onderaan (de letters B.R. onder het kroontje) is duidelijk te zien of een tekening al of niet gespiegeld is. Daar kan dus geen twijfel over bestaan, en het is trouwens niet zo merkwaardig als bijvoorbeeld het gespiegelde handschrift van Leonardo. Iedereen die nog de analoge fotografie heeft meegemaakt, herinnert zich immers hoe gemakkelijk een negatief van een foto kon worden gespiegeld, en dus ook de foto zelf. Ook werd drukwerk in het precomputertijdperk in spiegelbeeld voorbereid, zodat een omwisseling van een prent of een letter snel gebeurd was. Bovendien is het voor geometrische objecten niet echt van belang of ze al of niet in spiegelbeeld worden voorgesteld.

Links en midden: Twee voorstellingen van een afgeknotte icosaëder, een regelmatig twintigvlak, toegewezen aan Leonardo: een foutieve waarop Fra’ Giovanni zich wellicht baseerde (links) en een correcte (midden). We tekenden de onderste veelhoek van beide veelvlakken eronder en spiegelden ter vergelijking de kleurenafbeelding (rechts).
EOS

Bandwerk

Uit het vorige zou je misschien kunnen afleiden dat er in de kleurenplaten een fout sloop omdat het een kleurenverwerking was van een originele schets in zwart-wit. Toch is ook dit niet steeds het geval. De romboëdrische kuboctaëder, een ander soort veelvlak, blijkt bijvoorbeeld correcter voorgesteld in de kleurenversie dan in de zwart-wittekening. Voor alle duidelijkheid: Leonardo’s twee voorstellingen van de romboëdrische kuboctaëder met stervormige piramides blijken ook elkaars spiegelbeeld maar ze hebben wel beide onderaan een foutieve vierzijdige piramide. Rinus Roelofs’ bewering dat Leonardo hier geometrisch dwaalde, blijft dus overeind (zie ‘Fouten tegen geometrie, mechanica en rekenkunde’). Meer zelfs, de ontdekte fout blijkt bevestigd in beide versies. Aangezien het originele manuscript van Pacioli en Leonardo nadien werd verwerkt door kopiisten, is het best mogelijk dat een vergeten of verkeerd geplaatst lijntje in een spiegelbeeld werd verwaarloosd door een ‘redactiemedewerker’ (zoals die vandaag zou heten).

Leonardo’s zwart-witversie van de romboëdrische kuboctaëder bevat fouten en slordig getekende lijnen die een soortgelijke maar gespiegelde kleurenversie niet heeft.
EOS

Wanneer een routineuze kopiist een tekening overnam, was hij misschien niet erg bezorgd om kleine delen die niet erg goed zichtbaar waren, vooral als hij geen 3D-model voor zich had staan en zich dus niet echt kon voorstellen wat hij aan het kopiëren was. Fra’ Giovanni had dus wel pech, dat hij net de foute kleurenversie als basis gebruikte voor zijn klakkeloze overname in zijn houtinlegwerk, en niet de correcte zwartwitversie. Maar Leonardo’s fouten met ‘het vierkant in de voetbal’ en de ‘romboëdrische kuboctaëder’ blijven iets mysterieus hebben, in tegenstelling tot de vorige geometrische en rekenkundige fouten.

Als Leonardo de kleurentekeningen zelf had gemaakt, en een kopiist er een zwart-witversie van gemaakt had, of omgekeerd, als een kopiist de tekeningen van Leonardo had moeten ‘inkleuren’, dan was op zijn minst een van Leonardo’s originelen fout.

Leonardo vrijgepleit?

Vraag blijft wel waarom dan de ene keer een kleurenplaat beter is dan een zwart-witversie en een andere keer het omgekeerde het geval is. Het is natuurlijk ook mogelijk dat Leonardo alleen schetsen had gemaakt, waarvan kopiisten dan zwart-witversies en kleurenversies hadden gemaakt. In dat geval kan de fout gesignaleerd door Rinus Roelofs, tweemaal aan een onzorgvuldige kopiist te wijten zijn.

Deze hypothese was al vooropgesteld door de Hongaarse wiskundige Dénes Nagy (Australian Catholic University) in de vorm van een vraag na een voordracht die ik hield aan de ELTE Universiteit (Boedapest). De huidige analyse lijkt zijn veronderstelling te bevestigen. Terwijl de eerder gegeven resultaten zijn gebaseerd op simpele waarnemingen die iedereen had kunnen vaststellen – het blijft een vraag waarom niemand dit voorheen deed –, baseerde Dénes Nagy zijn hypothese op historische argumenten. Hij herinnerde zich dat Pacioli in zijn geschriften stelde dat hij de originele tekeningen van Leonardo bewaarde. Deze originelen werden nooit gevonden, en het feit dat Pacioli het had over ‘originelen’ kan impliceren dat de nu bekende tekeningen inderdaad kopieën zijn.

Er zijn slechts twee originele versies van de originele drukken bewaard gebleven, een in de Biblioteca Ambrosiana in Milaan, en een in de Bibliothèque de Genève. Maar de tekeningen in deze boeken zijn dus niet noodzakelijk van de hand van Leonardo. Ook wees Nagy erop dat Pacioli zijn boek bij gebrek aan financiële steun gedurende lange tijd niet kon uitgeven.

Het duurde meer dan tien jaar vooraleer een zekere Paganinus de Paganinus in Venetië het boek liet verspreiden. En zo werden de originelen van Leonardo daar tien jaar later misschien gekopieerd in de nu bekende kleurenversies en in de lage kwaliteit houtsneden. Waarschijnlijk gebeurde dit zonder de hulp van Leonardo, die op dat moment elders aan de slag was. Het zal ongetwijfeld een moeilijke opgave geweest zijn om een boek af te werken dat jaren eerder geschreven was, bovendien met tekeningen van iemand anders. In ieder geval impliceert dit dat de geometrische fouten misschien de verantwoordelijkheid waren van Pacioli, want hij was de wiskundige die opdracht voor de tekeningen had gegeven. Als ze niet goed genoeg waren geweest, had hij ze moeten terugsturen en correcties hebben gevraagd.

Hoge bomen

De rekenkundige fouten bij de vermenigvuldigingen van 9 × 9 = 80 of 4.096 × 2 = 8.092 zijn ontegensprekelijk in het handschrift van de meester, maar ze zijn tamelijk onbeduidend en kunnen iedereen overkomen. Bovendien staan ze op kladvellen en dus niet in een werk dat officieel gepubliceerd werd door Leonardo zelf. Eigenlijk is er zelfs geen enkel boek dat echt aan Leonardo kan worden toegeschreven. Zijn bekendste werk Trattato della pittura werd samengesteld door Francesco Melzi rond 1542, en gedrukt in het Frans en het Italiaans door Raffaelo du Fresne in 1651. Het was gebaseerd op pagina’s geschreven door Leonardo, kladwerken dus, maar strikt genomen is Leonardo bijgevolg niet de auteur van het boek.

Als een verzameling kladversies van onderzoek van gelijk welke auteur gepubliceerd zou worden, zouden er zeker ook fouten worden gevonden. De geringste misstap van de Homo universalis heeft natuurlijk wél een universele aantrekkingskracht. Toch zijn de geometrische fouten ‘misschien’ niet van Leonardo, terwijl de rekenkundige fouten op kladbladen stonden, en zo zorgt het huidige artikel voor een meer positieve afsluiting van de trilogie over de fouten van Leonardo. ‘Misschien’, want nu kent ook de wiskunde van Leonardo een mysterie, en niet alleen de glimlach van de Mona Lisa.

Dit artikel verscheen eerder in EOS magazine

Dit artikel is een publicatie van EOS Magazine.
© EOS Magazine, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 07 oktober 2012

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.