Je leest:

Convexiteit en compactheid in muziek

Convexiteit en compactheid in muziek

Auteur: | 17 oktober 2006

Aline Honingh promoveert op vrijdag 20 oktober 2006 op het proefschrift The Origin and Well-Formedness of Tonal Pitch Structures. Uit haar onderzoek blijkt dat toonladders en akkoorden convexe en compacte vormen beschrijven als ze afgebeeld worden in een bekende toonruimte.

Waarom heeft de Westerse majeur toonladder (do, re, mi, fa, sol, la, si) zeven tonen, en zijn het er niet zes of acht of een ander aantal? En waarom bestaat de Japanse pentatonische toonladder uit vijf tonen? Zijn deze getallen willekeurig ontstaan uit verschillende culturen, of zijn deze getallen gerelateerd en wellicht ontstaan uit eenzelfde oorsprong? Aline Honingh deed onderzoek op twee gebieden, gelijkzwevende stemming en wel-gevormdheid, om een gezamelijke oorsprong van toonladders mogelijk te kunnen verklaren.

Op vrijdag 20 oktober 2006 promoveert Aline Honingh aan de Universiteit van Amsterdam op het proefschrift The Origin and Well-Formedness of Tonal Pitch Structures. Op 13 mei 2005 hield Aline een voordracht bij ‘Leve de Wiskunde’, waar deze foto werd gemaakt door Tom Koornwinder.

Gelijkzwevende stemming

Sinds Pythagoras (circa 500 voor Christus) is reeds bekend dat een interval waarbij de verhouding van de frequenties is gegeven door 2:1 een rein (zuiver) interval oplevert: het octaaf. De kwint met de verhouding 3:2 is eveneens een rein interval. Deze (en meer) reine intervallen blijken onverenigbaar te zijn in een toetsinstrument. Als je bijvoorbeeld boven iedere toon op een piano een reine kwint of octaaf wil kunnen spelen, zouden er oneindig veel toetsen nodig zijn.

Als oplossing van dit probleem is in de negentiende eeuw de gelijkzwevende stemming ingevoerd. Hierbij wordt het octaaf verdeeld in 12 gelijke delen. In deze stemming worden bepaalde intervallen uit de reine stemming goed benaderd.

Veel onderzoekers, muziektheoretici en componisten hebben zich daarna afgevraagd of het ook mogelijk is het octaaf in een ander aantal dan 12 gelijke stukken te verdelen, waardoor mogelijk meer intervallen uit de reine stemming benaderd worden, of sommige intervallen wellicht beter benaderd worden. Er zijn veel studies gedaan naar een n-toons gelijkzwevende stemming of toonladder, waarbij geprobeerd werd n zo optimaal mogelijk te kiezen. De vraag is nu: wat is optimaal?

Honingh maakte een model dat de optimale waarden voor n voorspelt. De gevonden waarden voor n zijn 12, 15, 19, 27, 31, 34, 41, 46, 53. Inderdaad blijkt de 12-toons gelijkzwevende stemming, degene die tegenwoordig gebruikt wordt, een goede stemming te zijn volgens dit model.

Als de resulterende gelijkzwevende stemmingen gebruikt worden om Westerse muziek mee te spelen, dient deze stemming wel consistent zijn met betrekking tot het Westerse notatiesysteem. Hiermee wordt bedoeld dat een element uit de gelijkzwevende toonladder wel naar meerdere nootnamen mag verwijzen (op een piano verwijst een toets die naar de Cis verwijst, ook naar de Des), maar dat een nootnaam niet naar meerdere elementen in de toonladders mag verwijzen. Als dit laatste wel het geval zou zijn, zou het niet duidelijk zijn welke toets op een piano moet worden ingedrukt wanneer iemand je vraagt om een A te spelen.

Deze voorwaarde vormt restricties op het aantal mogelijkheden voor n, in een n-toons gelijkzwevende stemming. Dit betekent dat in sommige n-toons stemmingen niet gespeeld kan worden binnen het Westerse muziek-notatiesysteem. Van de negen waarden van n die optimaal bleken te zijn, zijn er drie die geschikt zijn voor het Westerse notatiesysteem, namelijk 12, 19 en 31. Instrumenten in deze stemming zijn inderdaad vervaardigd, zie onderstaande illustratie.

In 1943 ontwierp Fokker het 31 toons- of Euler-Fokkerorgel waarop hij zijn microtonale composities speelde. (Foto: Stichting Huygens-Fokker)

Wel-gevormd

Een toonladder kan wel-gevormd worden genoemd om verschillende redenen, bijvoorbeeld omdat hij een symmetrische vorm heeft wanneer hij wordt weergegeven op een tonenrooster of kwintencirkel. De centrale vraag is hier: wanneer noem je een set tonen een toonladder of akkoord en wat maakt een goede toonladder of akkoord?

Er bestaat (tot op heden) geen eenduidig antwoord op deze vraag, en daarom beschouwen we een groot aantal toonladders in een toonruimte en kijken we naar de overeenkomsten. Het blijkt dat vrijwel alle toonladders een convexe vorm beschrijven in deze ruimte. Een convexe vorm is een vorm zonder inhammen of gaten (een cirkel en een vierkant hebben een convexe vorm, maar een ster of donut niet). Voor Westerse akkoorden geldt hetzelfde: alle laddereigen akkoorden (akkoorden uit de toonladder) hebben een convexe vorm, zie onderstaande illustratie.

De noten zijn hier aangegeven in termen van frequentie-verhoudingen. De mineur-toonladder zijn de noten in het groene gebied, de majeur-toonladder zijn de noten in het rode gebied. Zowel het groene als het rode gebied is convex.

Honingh betoogt in haar proefschrift dat de convexiteit van toonladders en akkoorden te maken heeft met consonantie. Hoe meer de tonen met elkaar in verbinding staan (dus zonder inhammen of gaten tussen twee tonen), hoe makkelijker je van de ene toon naar de andere kunt gaan via consonante intervallen. Hiermee is tevens een evaluatiemodel voor toonladders gemaakt: is de toonladder convex, dan noemen we hem wel-gevormd. Convexiteit blijkt onafhankelijk te zijn van de gekozen basis van de toonruimte, wat deze eigenschap nog specialer maakt: het is geen artefact van de ruimte.

Een eigenschap die verwant is aan convexiteit is compactheid: de mate waarin de elementen van een toonstructuur dicht bij elkaar zitten in de toonruimte. In tegenstelling tot convexiteit is compactheid wel afhankelijk van de gekozen basis van de toonruimte. Echter, het blijkt dat als de basis gekozen wordt die de meest consonante intervallen projecteert op de kleinste afstanden in de ruimte, de compactheid eveneens geïnterpreteerd kan worden als een maat van consonantie: hoe compacter de set noten, hoe consonanter.

Een toepassing van compactheid

In veel computertoepassingen worden tonen gecodeerd als MIDI-getal. In het MIDI-systeem is de centrale C gecodeerd als het getal 60; de toon die een halve toon hoger is (Cis/Des) als 61, enzovoorts. Deze MIDI-notatie is analoog aan de 12-toons gelijkzwevende stemming. Beide maken geen onderscheid tussen enharmonisch equivalente noten zoals de Cis en de Des.

Maar het zijn juist deze nootnamen die veel informatie bevatten over bijvoorbeeld de toonsoort van een stuk, de harmonie, melodie en intonatie, en zijn dus heel belangrijk voor een musicus om te weten. Het zou dus nuttig zijn als er een model zou bestaan, dat MIDI-getallen in nootnamen zou omzetten.

Uit Honinghs onderzoek blijkt dat compactheid hier met succes gebruikt kan worden. Zij schreef een algoritme voor muzieknotatie dat volledig gebaseerd is op het principe van compactheid. De resultaten zijn zeer goed. Het compactheids-model is getest op alle preludes en fuga’s uit het Wohltemperierte Klavier van J.S. Bach dat in totaal 41544 noten bevat.

Een score van 99,21 procent wordt bereikt als de stukken verdeeld worden in sets van 7 noten. Dit betekent dat 99,21 procent van alle noten goed gespeld wordt met dit model. Hoewel deze score vergelijkbaar is met die van modellen die al langer bestaan, is het bijzonder dat een model dat slechts gebaseerd is op één principe zulke goede resultaten kan geven.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 17 oktober 2006
NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.