Bruno Ernst, pseudoniem van J.A.F.de Rijk, heeft inmiddels zijn 81ste verjaardag gevierd en om zijn verdiensten voor het onderwijs en de wetenschapspopularisatie niet ongemerkt te laten passeren, organiseren de opleidingen sterrenkunde, wiskunde en natuurkunde van de Universiteit Leiden een middagsymposium op vrijdag 30 maart 2007, in het J.H. Oort-gebouw te Leiden.
Pythagoras
In 1961 verscheen het eerste nummer van Pythagoras, wiskundetijdschrift voor jongeren. Van een kaftloos blaadje enkele bladzijden dik, groeide het spoedig uit tot een begrip, want een paar jaar later had elke leerling met enige interesse in wiskunde, een abonnement op Pythagoras. De wiskunde in Pythagoras was sprankelender en avontuurlijker dan de stof in de schoolboeken. De drijvende kracht achter de Pythagoras van die beginjaren was Bruno Ernst. Hij schreef zelf een groot deel van de kopij, deed de redactie, maakte foto’s en illustraties, en zette het nummer op een zaterdagochtend met schaar en lijmpot in elkaar. Door de week gaf hij les in scheikunde, natuurkunde en wiskunde. Een opleiding tot leraar wiskunde heeft hij nooit gehad, de lesbevoegdheid werd hem later door het ministerie verleend mede op grond van het werk dat hij voor Pythagoras had gedaan.
Als leraar vond Bruno Ernst het belangrijker enkele mooie ideeën over te brengen, dan een veelheid aan technieken en trucjes. Dat was ook zijn uitgangspunt bij Pythagoras. Zijn stukjes leiden zonder veel technische omhaal altijd tot iets om je over te verwonderen, iets dat je als lezer aan het denken zet. De vele artikelen in Pythagoras zijn maar een klein gedeelte van hetgeen hij schreef. Over talloze onderwerpen schreef hij boeken, de beroemdste gaan over het werk van Escher en over onmogelijke figuren, die in vele talen zijn uitgegeven.
Madeliefjeswiskunde
Bruno Ernst heeft nog niets verloren van zijn jeugdige nieuwsgierigheid. En hij bezit de gave bij anderen die nieuwsgierigheid te prikkelen. Dat lukte hem niet alleen als leraar en publicist, maar ook door mensen bij elkaar te brengen die zijn interesses delen. Zo was hij medeoprichter van de stichting Ars et Mathesis, van de Zonnewijzerkring en van de volkssterrenwacht Simon Stevin. Zijn belangstelling bestrijkt gebieden in wijd uiteenlopende richtingen. Toch is zijn belangstelling zeker niet ongericht. In wat hem wel en niet interesseert is hij juist heel selectief.
“Zie de wiskunde als een prachtige tuin. Midden in de tuin staat een enorme boom met takken die naar de hemel reiken. Aan de stam van de boom zijn de namen van grote wiskundigen verbonden uit het verre verleden: Pythagoras, Archimedes, Euclides. Hoger in de boom prijken de namen van knappe koppen als Euler, Gauss en Hilbert. Wil je de prachtige wiskunde helemaal bovenin die boom bewonderen, dan moet je flink klimmen. Maar de tuin bestaat niet uit die ene boom alleen, er zijn ook bloemperken en struiken. Daar kun je zonder klimpartijen minstens zo van genieten. En gewoon op de grond, tussen het gras staat soms onverwacht een prachtig madeliefje.” Met deze beeldspraak legt Bruno Ernst uit wat hem in de wiskunde trekt. De madeliefjeswiskunde is de wiskunde waar hij het meest van houdt.
Wie in het gelukkige bezit is van Pythagorassen uit die beginjaren, herkent de madeliefjes die Bruno Ernst erin plantte: de platlanders, onmogelijke figuren, perspectief, gezichtsbedrog, wiskunst, elegante bewijzen voor de stelling van Pythagoras. In het eerste nummer van de 46ste jaargang van Pythagoras (september 2006) liet hij er weer eentje zien, één die hij zelf gevonden heeft. Het gaat om een elegant bewijs voor een verschijnsel dat allang bekend is, maar nooit afdoende verklaard.
Hol lijkt bol
Als een beeld zo vaag is dat er niets in te herkennen valt, zie je er vaak een gezicht in. Zo word je gezichten gewaar in wolken, in een inktvlek en in de schaduwen op de maan. Onze hersenen zijn behept met gezichten. Enkele signaaltjes zijn voldoende om een gezicht uit duizenden te herkennen. Die rappe gezichtsherkenning bedriegt ons echter ook, in welk geval we heel dubbelzinnig te maken hebben met gezichtsbedrog. Een bekend geval van zulk dubbel gezichtsbedrog is de illusie van het holle gezicht.
Kijk naar de holle afdruk van een gezicht, zoals bijvoorbeeld de achterkant van een masker, dan zul je al gauw een gewoon bol gezicht zien. Zeker als dat holle gezicht in een vlakke muur zit, is de illusie bijzonder sterk. Het is die beheptheid van onze hersenen overal gezichten in te willen zien, en gezichten zijn nu eenmaal bol.
De holle-gezicht-illusie is al vaak toegepast in souvenirs en andere huiskamer-snuisterijen. Op internet kun je holle portretten vinden van beroemdheden als Charlie Chaplin, Boeddha, Einstein, en de heilige Maria, zie onderstaande links. Het verrassende effect van zo’n hol gezicht is te zien op foto’s, maar je ervaart het pas echt als je er fysiek voor staat. Beweeg je je hoofd, dan merk je dat het bolle gezicht draait.
Onverwachte draaiing
Merkwaardig is, dat een hol gezicht zich niet van ons afkeert, als we er langs lopen (we zien immers een bol gezicht eerst en face en daarna van de zijkant), maar dat het zich naar ons toekeert, alsof het ons na blijft kijken. Nog merkwaardiger is dat deze draaiing veel sneller is dan we verwachten. Met vernuftige opstellingen is in psychologische laboratoria vastgesteld dat deze draaiing twee maal zo snel verloopt als bij het lopen langs een normaal bol gezicht.
“Van verschillende kanten werd mij verteld dat voor dit feit een eenvoudig wiskundig bewijs te geven was. Omdat ik een hekel heb aan het zoeken naar dingen die anderen reeds gevonden hebben, zocht ik lange tijd naar literatuur waar dit bewijs te vinden zou zijn,” vertelt Bruno Ernst. Dat zoeken leverde niets op. Zijn nieuwsgierigheid en zijn ongeduld wonnen het van zijn luiheid, en hij begon zelf te puzzelen. “Tot mijn verbazing vond ik binnen een kwartier een heel elementair bewijs.”
Het simpele bewijs
We vereenvoudigen het driedimensionale voorwerp tot een lijnstuk AB, waarbij A dichter bij het oog ligt dan B. Kijken we naar A vanuit O1 en verplaatsen we het oog naar O2, dan draait de gezichtslijn over een hoek α; dit komt overeen met een draaiing van AB in tegengestelde richting over een hoek β. Zie het linker plaatje in de onderstaande afbeelding.
Dat is niets bijzonders, we zien dat dagelijks om ons heen gebeuren als we langs een gezicht of een bos bloemen lopen. Kijken we naar het middelste plaatje, dan ligt B op de zichtlijn OB. Er zijn echter geen gegevens over de afstand waarop wij B zien. Maar we kiezen het beeld B’ zo, dat AB = AB’. Dat is niet zo willekeurig als het lijkt. Als we een hol masker bekijken, waarbij de punt van de neus het verste van ons af is, zien we een normaal (bol) masker met het punt van de neus het dichtste bij het oog. En dat zonder vervormingen: de neus wordt bijvoorbeeld niet plotseling een heel lange Pinocchio-neus!
In het rechter plaatje is eerst een cirkel getekend door A en B en door de beginpositie van het oog O1. Het oog beweegt zich naar rechts, naar O2. Voor een eenvoudige bewijsvoering is O2 ook op de cirkelomtrek getekend. Als de afstand van het oog tot AB niet al te klein is, zal de praktische uitkomst weinig afwijken van de theoretische draaiing, namelijk twee keer zo snel.
Nu volgt het bewijs. Vanuit O1 zien we AB als AB’ en vanuit O2 zien we AB als AB". Het inverse beeld van AB is dan gedraaid over een hoek β en het niet-inverse beeld (dat we dus niet waarnemen) over een hoek α. We moeten dus bewijzen dat β = 2α.
Dit gaat als volgt. Omdat A, B, O1 en O2 op een cirkel liggen en de driehoeken ABB’ en AB"B gelijkbenig zijn, zijn de bijbehorende basishoeken gelijk (γ en α + γ). Daaruit volgt dat δ = 180° – 2(α + γ) en β + δ = 180° – 2γ, dus δ = 180° – 2γ – β. Daaruit volgt dat δ = 180° – 2(α + γ) = 180° – 2α – 2γ = 180° – 2γ – β. Dus β = 2α.
Meer informatie
- Optische illusies: hoe je brein je voor de gek houdt (Kennislinkartikel)
- Interview met Frank Israel
- Bruno Ernst Symposium 30 maart 2007
- Zsofia Ruttkay, ‘Een man met zes pseudoniemen’ (interview met Bruno Ernst, pdf-file)
- Stichting Ars et Mathesis (klik op Brunos column)