Om de breuken 1/2, 1/3. 1/4, 1/5, 1/6, … op de onderkant van een vel papier af te zetten, heb je praktisch geen vouwinstructie nodig. Neem een blaadje A4 en vouw beide diagonalen. De plaats van 1/2 zal je niet verbazen, zie figuur 1.

Van daaruit vind je de plaats van 1/3 , enzovoort; steeds via de diagonaal van linksonder naar rechtsboven.

In figuur 1 is de te verdelen zijde 84 mm lang. En 84 is deelbaar door 2, 3, 4, 6 en 7, zodat je gemakkelijk met een liniaal kunt controleren dat het klopt voor 1/2, 1/3, 1/4, 1/6 en 1/7 (in elk geval zo ongeveer). Maar, snap je ook waarom het exact klopt?

In drie plaatjes leggen we op een “primitieve” manier uit hoe je van 1/4 naar 1/5 komt. Primitief omdat er geen enkele kennis van wiskunde bij nodig is.

Van 1/4 naar 1/5

We verdelen de rechthoek met diagonaal in vieren, zie figuur 2a. In elke baan trekken we een diagonaal, zoals in figuur 2b. Die verdelen de diagonaal van de rechthoek in vijf (!) gelijke stukken. Vervolgens maken we nieuwe banen door de snijpunten, zodat de rechthoek wordt verdeeld in vijven, zie figuur 2c.

Met dit procédé kun je van 1/2 naar 1/3 gaan, van 1/3 naar 1/4 enzovoort. Zodoende krijg je het plaatje van figuur 1.

Algemener

Bekijk figuur 3. Twee lijnen vanuit een hoekpunt snijden van de horizontale zijden 1/3 en 1/5 af. We vragen ons af welke breuk bij het vraagteken hoort. Ook die kun je op een primitieve manier vinden.

We tekenen drie van de rechthoeken onder elkaar, verdeeld in vijf banen, zie figuur 4. Het verlengde van de lijn die 1/3 afsnijdt, is de diagonaal van linksboven naar rechtsonder.

In elke baan is een diagonaal getekend. Zodoende wordt de diagonaal van linksboven naar rechtsonder verdeeld in 5 + 3 = 8 gelijke stukken. Bij het vraagteken hoort dus 1/8.

Heb je het principe door? Als we 1/3 door 1/8 vervangen (en 1/5 gewoon handhaven), welke breuk hoort dan bij het vraagteken? In figuur 5 is dit idee gevolgd: beurtelings worden de breuken naar boven en naar beneden aangegeven.

Opgave:

Welke breuken horen bij de vraagtekens in figuur 5? De noemers vormen een bekende rij; herken je die?

Wiskundige technieken

Je kunt dus gewoon ‘zien’ welke breuken je vouwt. Misschien vind je het leuk om met meer wiskundige technieken te berekenen welke breuken je krijgt.

Dat kan door handig een assenstelsel te kiezen en het snijpunt van twee lijnen te berekenen, zie figuur 6. Voor figuur 3 zou dat kunnen door de lijnen y = 5x en y = 1 – 3x te snijden. Het snijpunt is (1/8, 5/8).

Het kan ook door twee keer gelijkvormigheid toe te passen, zie figuur 7. Voor figuur 3 zou dat geven a : b = 1/5 : 1/3 = 3 : 5 en ? : 1/3 = a : (a+b) = 3 : 8. Dus ? = 1/8.