Je leest:

Babylonische tijdsverwarring

Babylonische tijdsverwarring

Auteur: | 14 november 2007

We zijn gek van de tien. Met onze tien vingers tellen we de tien decimeters in een meter en de honderd centen in een euro. Ook met gewicht, snelheid en temperatuur rekenen we altijd met de tien. In een uur gaan echter geen tien of honderd minuten, maar zestig. Bij de klok gebruiken we dus zestig als basis. Dat hebben we te danken aan de oude Babyloniërs.

Het is 14 juli 1789. In Parijs bestormt het ontevreden volk de Bastille, waarmee een einde wordt gemaakt aan de monarchie. Het is het begin van de Franse Revolutie, de tijd van Vrijheid, Gelijkheid en Broederschap. Maar ook de tijd van vreemde nieuwe maatregelen, zoals het ‘brood der gelijkheid’: alle Fransen moeten hetzelfde brood eten. Vier jaar later gaat ook de tijdsindeling op de schop. De mensen krijgen te maken met dagen die uit tien uren bestaan. Verder gaan er vanaf dat moment honderd minuten in een uur en honderd seconden in een minuut.

De bevolking kan niet wennen aan deze indeling. Ook de horlogemakers ondersteunen het nieuwe systeem niet, omdat ze de speciale Franse horloges niet aan het buitenland kwijt kunnen. Een half jaar later wordt de Revolutionaire tijdsindeling alweer afgeschaft en keert men terug naar het vertrouwde systeem van zestig seconden in een minuut en zestig minuten in een uur.

Franse klok met de dag verdeeld in 10- of 12-urig stelsel.

Uur van honderd minuten

Ook andere pogingen om voor de tijd niet dit zestigtallig, maar een tientallig getallenstelsel te gebruiken zijn op niets uitgelopen. Zo was er wederom in Frankrijk in 1897 de Commission de décimalisation du temps. Deze commissie stelde voor de 24-uursindeling van een dag te behouden, maar de uren uit honderd minuten en de minuten uit honderd seconden te laten bestaan. Dit voorstel werd nooit uitgevoerd en in 1900 definitief verworpen.

In China is een soortgelijk systeem wel lange tijd succesvol geweest. Men heeft daar in de hele bekende geschiedenis gerekend met de ke, een tijdseenheid die oorspronkelijk een honderdste van een dag bedroeg. In de zeventiende eeuw werd echter de Westerse tijd ingevoerd en veranderde de lengte van de ke naar 1/96 van een dag, oftewel een kwartier.

De ke en andere Chinese tijdseenheden werden oorspronkelijk afgemeten met waterklokken. Water bleef met tijd verbonden in deze 11 meter hoge klokketoren op waterkracht van Su Song.

Honderd was vroeger zestig

Blijkbaar is de mens behoorlijk gehecht aan de zestigtallige tijdsindeling. Is het dan zo’n handig systeem? Op het eerste gezicht zou je zeggen van niet. Neem een bioscoopfilm van 135 minuten; je moet er de tafel van zestig bijpakken om dat om te rekenen naar twee uur en een kwartier. De tafel van tien zit al ingebouwd in ons getallenstelsel, zodat een uur van honderd minuten een stuk makkelijker zou rekenen. De film zou dan 225 minuten duren, zodat je meteen ziet dat dit gelijk is aan twee uur en een kwartier. Hoe komt het dat de hele wereld toch blijft vasthouden aan het zestigtallige systeem?

Eigenlijk is het helemaal niet zo lang geleden dat we ook voor gewoon rekenwerk een zestigtallig stelsel gebruikten. Decimale breuken zoals we die nu kennen werden pas aan het eind van de zestiende eeuw in Europa geïntroduceerd. Daarvoor werd iedere breuk uitgedrukt in veelvouden van 1/60, 1/3600 (=1/602) enzovoort. Veel breuken konden op deze wijze slechts benaderd worden: 1/7 ≈ 8/60 + 34/3600 + 17/216.000. Is dit dan niet een slechte methode? Zeker niet, neem bijvoorbeeld breuken als 1/3 en 1/6. Deze breuken komen in de praktijk veel voor, onder andere bij het rekenen met hoeken (30o = 1/6 pi rad). En 1/3 en 1/6 zijn juist veel makkelijker in zestigsten (20/60, 10/60) dan in honderdsten (0.333…, 0.1666…) uit te drukken.

Ook voor het rekenen met gehele getallen is in het verleden een zestigtallig stelsel gebruikt. Vooral de oude Grieken waren hier zeer bedreven in. Zo verdeelde rond 150 voor Christus de Griekse sterrenkundige Hipparchos de baan van de zon in 360 delen. Hij koos dit getal omdat de aarde dan iedere dag ongeveer één deel aflegt. Bovendien is 360 een veelvoud van het belangrijke getal 60. Dit idee paste hij vervolgens toe op alle cirkelbanen, waarmee hij de eerste Griek was die de verdeling van een cirkel in 360 graden hanteerde. Deze verdeling was echter al veel eerder uitgevonden door de oprichters van het zestigtallig stelsel.

Het Plimpton-tablet uit 1700 voor Christus. De getallen in de verschillende kolommen zijn oplossingen van de formule a2 + b2 = c2.

Spijkers en winkelhaken

Waar komt die voorliefde voor een zestigtallig stelsel toch vandaan? Om deze vraag te beantwoorden moeten we zo’n 4000 jaar terug in de tijd, naar het oude Babylon. De Babyloniërs wisten toen al zeer ingewikkelde berekeningen uit te voeren met behulp van het zestigtallig getallensysteem dat ze hadden uitgevonden. Aan de hand van opgegraven kleitabletten waarin de berekeningen staan gegrift is achterhaald hoe dit systeem in elkaar zit.

Voor het weergeven van getallen zijn er in dit systeem maar twee tekens: een “spijker” en een “winkelhaak”. Iedere spijker staat voor een eenheid, iedere winkelhaak stelt een tiental voor. In de figuur rechtsboven is te zien hoe de getallen één tot en met 59 worden gevormd. Het getal 60 wordt echter weer aangegeven met één spijker, zodat getallen boven de zestig worden ge¬vormd door eerst ieder zestigtal met een spijker aan te geven, gevolgd door het resterende getal. Zo bestaat het getal 394 (6*60 + 34) uit het teken voor zes (zes spijkers), gevolgd door het teken voor 34 (drie winkelhaken en vier spijkers).

Rekenen met het oorspronkelijke Babylonische systeem leidt tot twee problemen. Ten eerste is er geen teken voor de nul, zodat een enkele spijker niet alleen het getal één, maar ook 60 of 3600 (602) kan betekenen. In de praktijk losten de Babyloniërs dit op door uit de context de juiste keuze te halen. Toen sterrenkundige berekeningen zo ingewikkeld werden dat dit niet meer mogelijk was, werd er een symbool voor de nul ingevoerd. Dit is voor zover bekend het oudste teken voor de nul in de geschiedenis van de wiskunde.

Het tweede probleem is dat er ook voor breuken hetzelfde zestigtallig stelsel wordt gebruikt, zonder een teken dat aangeeft wanneer er een breuk begint. Wij gebruiken daarvoor de komma. Wanneer een getal in het Babylonische systeem bestaat uit twee spij¬kers gevolgd door drie winkelhaken, dan kan dit zowel 150 (2*60 + 3*10) als 2,5 (2 + 30/60) betekenen. Ook hier moesten de Babyloniërs in eerste instantie uit de context de juiste keuze halen. Later werden de berekeningen in kolommen gerangschikt, zodat meteen duidelijk was welk getal bedoeld werd.

Het Babylonische zestigtallige getallensysteem.

Indiërs gaan voor de tien

Het Babylonische getallenstelsel is overgenomen door de Grieken. De Arabieren hebben het op hun beurt van de Grieken overgenomen en tot de achtste eeuw na Christus gehanteerd. De Europeanen hebben tot de dertiende eeuw na Christus gerekend met Romeinse cijfers, vooral bekend van de aanduiding van jaartallen, zoals MDCCLXXXIX = 1789. Beide systemen zijn echter verdreven door hetzelfde, in India uitgevonden systeem: ons huidige tientallig getallenstelsel.

Indiase sterrenkundige teksten geven aan dat er al in de derde eeuw voor Christus een tientallig stelsel is uitgevonden. In dit stelsel bestonden tekens voor de getallen één tot en met negen, maar nog geen nul. Voor ieder tiental en ieder honderdtal bestond weer een apart symbool. Zo’n systeem voldoet alleen wanneer de getallen in berekeningen niet al te groot worden. In de sterrenkunde wordt echter regelmatig gerekend met getallen als 150 miljoen kilometer (de afstand van de aarde tot de zon), zodat er een beter systeem bedacht moest worden.

In de tweede of derde eeuw na Christus is in India het zogeheten tientallig positiestelsel ontwikkeld, met de nul erbij. Dit is het stelsel dat we nu nog steeds gebruiken. Het meest rechter cijfer geeft aan hoeveel eenheden het getal bevat, het cijfer links daarvan geeft het aantal tientallen aan, het getal links daarvan het aantal honderdtallen, enzovoort. Zo bestaat het getal 4703 uit vier duizendtallen, zeven honderdtallen, geen enkel tiental en drie eenheden.

Het grote voordeel van het tientallig stelsel ten opzichte van het zestigtallig stelsel is dat je met betrekkelijk weinig tekens zeer grote getallen kunt weergeven. Bovendien bestaat er geen enkele onduidelijkheid over welk getal bedoeld wordt. Het is dus niet vreemd dat dit systeem in de loop van de tijd door de hele wereld overgenomen is.

De Indiase Brahmi-getallen zijn gevonden in grottekeningen en op munten uit de regio’s Poona, Bombay en Uttar Pradesh. De tekens werden gebruikt tot in de 4de eeuw van onze jaartelling. bron: MacTutor-archive.

Tijd is tijdloos

Het tientallig stelsel biedt dus een zeer compacte en duidelijke schrijfwijze om getallen weer te geven. Ondanks deze voordelen is er bij de tijdsindeling gekozen voor het zestigtallig stelsel en is het nooit gelukt deze keus te veranderen. Gelden de genoemde voordelen dan niet bij het klokkijken? Niet echt, want zeer grote getallen komen in de tijd niet voor, na 12 uur begint alles weer van voren af aan. Door het gebruiken van de nul is van onduidelijkheid over tijdstippen geen sprake: 08:15 betekent altijd kwart over acht en niet acht minuten en vijftien seconden over twaalf, dat zou immers 0:08:15 zijn. Het enige nadeel van een zestigtallig stelsel is dat het af en toe wat omrekeningswerk vereist, zoals blijkt uit het eerder gegeven voorbeeld met de bioscoopfilm: 135 = 120 + 15 = 2*60 + 15 = twee uur en een kwartier.

Zou Christiaan Huygens hieraan gedacht hebben toen hij in 1676 het slingeruurwerk uitvond? Zou hij getwijfeld hebben of hij zijn klok in een minuut zestig of honderd keer moest laten tikken? Waarschijnlijk dacht hij vooral aan de praktische kant: voor een tientallig rekenende klok was het moeilijk om geschikte tandwielen te vinden. Verder kwam een zestigtallige verdeling ook mooi uit met de verdeling in twaalf uur: de grote wijzer legt in één uur precies evenveel af als de kleine wijzer in vijf minuten. Als er honderd minuten in een uur zouden gaan, zouden dit 100/12 = 8.33 minuten zijn. Wat zijn afweging ook was, de Babylonische rekenmeesters leven voort in onze klok. Daar zal geen enkele revolutie ooit iets aan veranderen.

Yannick Fritschy is derdejaars student Natuur- en Sterrenkunde aan de Universiteit van Amsterdam.

Dit artikel is een publicatie van Universiteit van Amsterdam (UvA).
© Universiteit van Amsterdam (UvA), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 14 november 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.