Je leest:

Alexander Grothendieck: de nieuwe algebraïsche meetkunde

Alexander Grothendieck: de nieuwe algebraïsche meetkunde

Auteur: | 2 april 2010

Na een dramatische jeugd vernieuwde de in Duitsland geboren Alexander Grothendieck (28 maart 1928) in snel tempo twee vakgebieden, om daarna in slechts twaalf jaren een fundament te leggen voor een heel nieuwe opzet van de algebraïsche meetkunde. Grothendieck schreef vele pagina’s prachtige wiskunde, met baanbrekende ideeën. Hij werd een gigant in dit vak en verwierf wereldfaam. Maar op latere leeftijd vereenzaamde hij in een kluizenaarsbestaan. Nu, in 2010, bijna twintig jaar later, laat hij weer van zich horen.

Alexander Grothendieck (geboren op 28 maart 1928 te Berlijn)

Zijn vader, de Rus Alexander Schapiro (of Alexander Tanaroff, of Sascha, geboren omstreeks 1890) had een bewogen leven. Als jongen van 14 vocht hij in Rusland mee in een groep anarchisten. Zij werden gevangen genomen, allen ter dood veroordeeld, maar het kind werd ten slotte gespaard. Bij een vluchtpoging verloor Sascha een arm. Omstreeks 1917 werd hij bevrijd. Hij leefde samen met Rachil, maar heeft ook vele andere vrouwen gehad. Door communisten werd hij opnieuw gevangen genomen, maar Rachil wist hem te bevrijden.

Daarna vluchtte Sascha naar Berlijn en na omzwervingen via onder andere Parijs en België kwam hij in 1925 weer aan in Berlijn. Daar zag hij een foto van Hanka Grothendieck en zei tegen haar man Alf Raddatz: ‘Die vrouw neem ik je af.’ Dat gebeurde daadwerkelijk: na drie jaar getrouwd te zijn, verliet Hanka haar man voor Sascha. Hanka Grothendieck (Johanna, geboren in 1900) kwam uit een redelijk welgestelde familie, die echter door wanbeheer en door de crisisjaren aan lager wal was geraakt. Als kind van 13 jaar nam Hanka het leven zelf in haar hand, zoals blijkt uit haar omvangrijke autobiografie Eine Frau. Aanvankelijk kon ze zichzelf redelijk redden, maar later leefde ze in bittere armoe.

In 1928 kregen Sascha en Hanka een zoon, die oorspronkelijk Alexander Raddatz heette, maar die later als Alexander Grothendieck door het leven zou gaan. In 1933 vluchtte Sascha, die jood was, naar Parijs. Later vocht hij mee in de Spaanse Burgeroorlog. Hij overleed ten slotte in het concentratiekamp Auschwitz. Voor hem was revolutie het enige dat belangrijk was; al het andere was daaraan ondergeschikt.

Zowel Hanka als Sascha hebben veel geschreven. Dat was een van drijfveren van hun leven. En hun zoon heeft niet anders gedaan: vele duizenden pagina’s wiskunde, en vele duizenden pagina’s bespiegelingen, memoires, wraakzuchtige pamfletten, en nog veel meer. Toen Sascha naar Parijs vertrok, zocht Hanka in 1933 voor Alexander een pleeggezin in Hamburg, zodat ze naar Sascha kon gaan. Zij beloofde aan het pleeggezin geld te betalen voor hun diensten. Zij bracht het kind erheen met als enige conditie dat hij geen godsdienst opgedrongen zou krijgen. Liefdevol liet de nieuwe moeder de moegereisde Alexander zijn kamer zien. Toen ze weer beneden kwamen, was de echte moeder vertrokken, zonder afscheid te nemen.

In 1938 wist het pleeggezin het adres van Hanka te achterhalen. Zij stuurden Alexander naar Parijs, waar hij herenigd werd met zijn moeder. Zij leefden in de oorlog in een interneringskamp. Hanka komt uit verklaringen van familieleden naar voren als een vrouw met een lastig karakter. Veel later zou Alexander liefderijk voor zijn ouder wordende moeder zorgen. Maar het viel hem zwaar: na haar dood in 1957 schreef Alexander dat ‘een gruwelijke last van zijn schouders is genomen’.

Alexander Grothendieck in Vietnam. Afbeelding: Archiv Winfried Scharlau

Het is verleidelijk om veel van het gedrag van Alexander Grothendieck te verklaren vanuit zijn jeugd, vanuit het verleden en karaktereigenschappen van zijn ouders. Maar ik zal dat niet doen. Laten we ons bij de feiten houden. Veel van het bovenstaande vinden we in allerlei documenten, zie bijvoorbeeld het fascinerende boek Wer ist Alexander Grothendieck? Anarchie, Mathematik, Spiritualität. Eine Biographie, Teil 1: Anarchie. van Winfried Scharlau.

Het boek Wer ist Alexander Grothendieck? Anarchie, Mathematik, Spiritualität. Eine Biographie, Teil 1: Anarchie van Winfried Scharlau is direct via de auteur te koop ([email protected]) of via zijn website www.scharlau-online.de.

Na de Tweede Wereldoorlog

Alexander Grothendieck studeerde wiskunde in Montpellier en in Parijs. In Nancy werkte hij onder Laurent Schwarz aan zijn proefschrift Topological vector spaces, dat in 1973 in New York werd uitgegeven door Gordon and Breach Science. Daarin blijkt al zijn formidabele inzicht. Hij ontwikkelde zich in een paar jaar tot een van de leidende wiskundigen op het gebied van de topologische vectorruimtes.

In 1955 begon hij te werken aan homologische algebra. In dat vakgebied schreef hij een artikel met de titel Sur quelques points d’algèbre homologique. Dit artikel had een grote invloed. Meestal wordt het geciteerd als ‘Tohoku’, naar het tijdschrift waarin het artikel verscheen. Leila Schneps schrijft er over: ‘He wants to study and teach a course on Cartan and Eilenberg’s new book but cannot get hold of a copy, so that he is compelled to work everything out for himself, following what he “presumes” to be their outline.’

Ondanks dat het duidelijk was dat Grothendieck uitgroeide tot een groot wiskundige, was het voor hem moeilijk om – als niet-Fransman – een positie in Frankrijk te krijgen.

In 1946 formuleerde André Weil vermoedens die een speciaal geval zijn van een generalisatie van het Riemannvermoeden. Het is visionair, en Weil gaf al aan welke abstracte middelen men zou moeten ontwikkelen om deze ingrijpende Weil-vermoedens, zoals ze gingen heten, te bewijzen. Dit gaf Grothendieck de inspiratie die hem bracht tot het op een totaal nieuwe leest schoeien van de algebraïsche meetkunde. Op het International Congress of Mathematicians in 1958, dat toen in Edinburgh werd gehouden, ontvouwde hij zijn plannen. De meeste toeschouwers begrepen niets van zijn voordracht, maar er was iemand op de eerste rij, die blijk gaf te kunnen volgen wat Grothendieck van plan was. Dat bleek Jean-Pierre Serre te zijn.

Alexander Grothendieck met Jean-Pierre Serre in 1958. Als klankbord was Serre belangrijk voor Grothendieck: een tegenvoorbeeld van Serre behoedde Grothendieck meer dan eens voor overbodig werk. Hun correspondentie – meer dan tachtig brieven geschreven in de periode 1955-1966 – is uitgegeven in een boek, waarover dit artikel verscheen in Notices of the AMS. Afbeelding: www.grothendieckcircle.org

Duizenden pagina’s wiskunde

In 1958 werd het Institut des Hautes Etudes (IHES), opgericht. Eerst was het gehuisvest in een statig herenhuis in Parijs, later in Bures-sur-Yvette, een plaatsje even ten zuiden van Parijs. Grothendieck was daar een van de eerste giganten die hun werk in die prachtige atmosfeer konden doen. Grothendieck hield zijn seminarium op een schoolbordje op een ezel: een eenvoudige ambiance dus, maar er heerste permanent een creatieve en inventieve sfeer. In deze jaren publiceerde Grothendieck vele duizenden pagina’s prachtige, maar uiterst abstracte wiskunde. Artikelen schreef hij nauwelijks. Zelf zei Grothendieck: ‘We do not read books, we write them.’ Allyn Jackson geeft in zijn artikel The IHES at Forty een uitgebreide beschrijving van Grothendiecks arbeid op het IHES.

In zijn Séminarie de géométrie algébrique ontwikkelde Grothendieck systematisch elk jaar een nieuw, fascinerend onderwerp; twaalf delen met elk 400 à 600 pagina’s verschenen in de jaren 1961-1969, geschreven met verschilende co-auteurs. Jean Dieudonné en Alexander Grothendieck begonnen aan een fundamenteel werk, getiteld Elements de géométrie algébrique (EGA). Van de geplande twaalf hoofdstukken verschenen er ten slotte vier, in acht delen, samen 1850 pagina’s abstracte wiskunde. Reeds voordat zij aan dit werk begonnen, had Grothendieck al een compleet plan wat er in die twaalf hoofdstukken zou moeten staan. Over EGA schreef David Mumford op 26 december 1985 aan Grothendieck: ‘I have been very conscious of the difficulties that the younger generation has in getting a clear idea of your theories. This may be blunt and insensitive, but I should say that I find the style of the finished works, esp. EGA, to be difficult and sometimes unreadable because of its attempt to reach a superhuman level of completeness.’

Grothendieck geeft een voordracht op het IHES. Afbeelding: www.grothendieckcircle.org

Tussen 1957 en 1962 schetste Grothendieck in negen voordrachten in Séminaire Bourbaki een aantal van zijn resultaten die in latere delen van EGA zouden moeten verschijnen. Vele fascinerende, nieuwe ideeën beschreef hij in enkele honderden pagina’s. Het totale werk – niet minder dan 7000 bladzijden compact geschreven abstracte wiskunde – gaf het begin van een nieuwe opzet van de algebraïsche meetkunde. Nog jaren hebben wiskundigen er werk aan gehad om het te begrijpen, uit te werken en toe te passen. Tegenwoordig is het onmisbaar gereedschap om dit vak te bedrijven.

Aan Grothendieck werd in 1966 de Fields Medal – de hoogste onderscheiding in de wiskunde – toegekend. Hij accepteerde de prijs, maar kwam hem niet kwam ophalen in Moskou, waar de uitreiking plaatsvond. Hij was namelijk fel tegenstander van de militaire acties die de Sovjet Unie voerde. De toekenning van de Fields Medal was een terechte erkenning van zijn prachtige wiskundige productie. De invloed op zijn tijdgenoten, en nu nog op hele generaties algebraïsch meetkundigen, is haast niet te bevatten.

Een leven in afzondering

Na 1970 kwam het recalcitrante karakter van Grothendieck steeds meer naar boven. Hij had heel idealistische principes over milieu en militarisme, en compromissen zijn ondenkbaar. Grothendieck verliet het IHES met als directe aanleiding een verschil van mening over het wel of niet aanvaarden van subsidie van militaire instanties. Zijn vertrek bij IHES beschrijft Grothendieck zelf in La clef des songes.

In 1971 schreef Grothendieck, na zijn lezing aan de Universität Bielefeld, deze tekst in het colloquiumboek. Zijn frustratie omtrent het wetenschappelijke ‘delirium’ en de wereldproblematiek spat er vanaf.

Tot 1988 werkte Grothendieck aan de Université de Montpellier en aan het Centre National de Recherches Scientifiques (CNRS). In die periode verscheen zijn prachtige pamflet Esquisse d’un programme. Dit geschrift uit 1984 bevindt zich op een soort kruispunt. Eerder schreef hij fundamentele, zwaarwichtige wiskunde. Nu schreef hij niet minder bevlogen, maar wel luchtiger. Hij gaf een stroom aan nieuwe aanzetten: kindertekeningen, an-abelse meetkunde, het Lego-Teichmüllerspel; specialisten zijn nog steeds bezig deze nieuwe onderwerpen te begrijpen en uit te werken.

Vroeger had Grothendieck een zware taak: het opschrijven van dingen die hij allang begreep (sic!); nu kon hij vrij fantaseren van wat er wel waar zou kunnen zijn: ‘Mais aujourd’hui je ne suis plus, comme naguère, le prisonnier volontaire de tâches interminables, qui si souvent m’avaient interdit de m’élancer dans l’inconnu, mathématique ou non.’ (‘Maar vandaag ben ik niet meer, zoals voorheen, de vrijwillige gevangene van taken die maar niet ophouden, die me zo vaak verboden het onbekende te onderzoeken, of dat nu wel of geen wiskunde is.’)

Daarna zouden nog vele duizenden pagina’s volgen, waarvan het merendeel nog niet uitgegeven is. We weten van het bestaan van ‘La longue marche’ (geschreven januari-juni 1981), ‘A la poursuite de champs’ (1500 pagina’s), ‘Récoltes et Semailles’ (Oogsten en zaaien; meer dan 900 pagina’s), ‘Réflexions et témoignages sur un passé de mathématicien’ (1985-86), ‘La Clef des Songes – ou Dialogue avec le Bon Dieu’ (315 pp). Steeds meer worden de honderden, duizenden pagina’s venijniger en minder wiskundig.

Grothendieck met een aantal collega’s in Montreal, 1970. Afbeelding: www.grothendieckcircle.org

In 1991 verdween Grothendieck zonder een adres achter te laten. Het schijnt dat hij toen vele manuscripten verbrand heeft, zoals brieven en manuscripten van zijn vader. Sindsdien heeft hij slechts spaarzame contacten met een paar mensen. Soms weten we niet waar hij is: het verhaal gaat dat hij ergens in de Pyreneeën verblijft.

Op 3 januari van dit jaar gaf hij echter weer een teken van leven: hij schreef een brief die inmiddels op het internet circuleert. Ook schreef hij naar schatting een twintigtal wiskundigen een persoonlijke brief. Of dit alles het begin is van een terugkeer naar de bewoonde wereld, kunnen we betwijfelen. De inhoud van de brief op internet is weinig hoopvol: hij meldt dat hij geen enkele verantwoording neemt voor het materiaal dat zonder zijn toestemming is gepubliceerd. En hij wil niet dat zijn werk wordt verspreid; bibliotheken moeten eventuele kopieën verwijderen.

De afsluiting van de brief die Alexander Grothendieck op 3 januari 2010 schreef. Klik hier om de hele brief te zien. Een forum waarop mensen reageren op deze brief is hier te vinden.

De wiskundige inzichten van Grothendieck

Vragen over oplossingen van een of meer polynoomvergelijkingen (zoals x3 + y3 = z3) kunnen worden benaderd door de algebraïsche meetkunde. Klassiek beschouwt men oplossingen met waarden in de complexe getallen of in de reële getallen. Al gauw komt de noodzaak de theorie van de algebraïsche variëteiten op een ruimere leest te schoeien: de oplossingen in de complexe getallen van de vergelijking x3 + y3 = z3, bijvoorbeeld, geven niet veel informatie over de getaltheorie die hierachter schuil gaat. Daar is veel aan gedaan, van pogingen in de negentiende eeuw (Riemann, Klein en vele anderen), in de Italiaanse meetkunde in het begin van de twintigste eeuw (Severi en vele anderen) en later een meer algebraïsche benadering (Van der Waerden, Zariski, Weil) tot ten slotte een meetkundige benadering via schoven (met als culminatiepunt Faisceaux algébriques cohérents uit 1955 door J.P. Serre).

Nog steeds zijn toepassingen in getaltheorie niet gemakkelijk, omdat bijzondere eigenschappen van gehele getallen nog geen rol spelen in deze meetkunde. In Parijs begon het in de jaren 1955-1960 te dagen dat een nieuwe opzet nodig was, zodat de meetkunde kon worden toegepast in de getaltheorie. Grothendieck zette de beslissende stap. Zijn wiskunde is verre van eenvoudig; het is geen teken van domheid als de hierna volgende tekst niet begrepen wordt! Het betreft geavanceerde wiskunde die zich niet in kort bestek laat uitleggen…

Schema’s (enige voorkennis vereist)

Uit een affiene variëteit X krijgen we een ring, de verzameling van alle functies op X; die ring R heeft speciale eigenschappen. Over een algebraïsch gesloten lichaam krijgen we X terug door alle maximale idealen in die ring te beschouwen. Het fundamentele idee van Grothendieck is door elke ring (commutatief, met 1 ∈ R) in die beschouwingen te betrekken en de ruimte X te geven als de verzameling van alle priemidealen van R (de hele ring R is niet een priemideaal); op die ruimte krijgen we een ‘schoof van reguliere functies’ door R te localiseren in elk van die priemidealen. Dat is de goede generalisatie, al hebben meetkundigen direct al last met het begrip niet alleen maximale idealen te beschouwen. Een schema wordt verkregen door een ruimte locaal op deze manier te geven. Zoals vaak in de meetkunde, wordt een ruimte gegeven door ‘kaarten’ van een vooraf gegegven type.

Hier is een voorbeeld van een schema. Zij K een lichaam. Het bijbehorende schema bestaat uit één punt (K heeft maar één priemideaal), en de schoof erop bestaat uit alleen K. Is dit interessant? Het antwoord is ja.

In de topologie beschouwen we overdekkingen die onvertakt zijn. Op die manier definiëren we de topologische fundamentaalgroep. Op die manier wordt aan een topologische ruimte een groep toegevoegd; er zijn vele toepassingen van dit baanbrekende idee. Bijvoorbeeld een bewijs van de dekpuntstelling van Brouwer kan langs deze weg gegeven worden.

In de algebra worden van een lichaam K alle algebraïsche uitbreidingen beschouwd. De boom van separabele uitbreidingen van K definieert de Galoisgroep van K, een onmisbaar hulpmiddel dat toepassingen mogelijk maakt.

Het lijken heel verschillende werelden, de topologie en de algebra. Grothendieck heeft aangetoond dat dit beide realisaties zijn van een veel algemener begrip: de algebraïsche fundamentaalgroep. Hier zien we de grote kracht van de wiskunde van Grothendieck: de essentie begrijpen, en generaliseren. En, bovendien is dit niet zo maar een spelletje; er zijn vele toepassingen. Dit nieuwe begrip heeft de weg geopend tot diepe toepassingen en mooie resultaten.

De grote kracht van Grothendiecks wiskunde bestond erin dat hij van vroegere ontwikkelingen in de wiskunde direct en beter de essentie doorzag dan ooit tevoren was gedaan, en dat hij met zijn formidabele mogelijkheden de abstracties wist vorm te geven. Vaak was dat voor tijdgenoten niet gemakkelijk te volgen (en ook nu vaak nog niet). Maar we hebben er wel een rijk arsenaal aan prachtige stellingen en nuttige werktuigen aan bij gekregen.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 02 april 2010
NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.