Twee maanden geleden maakte de Noorse Academie van Wetenschappen en Letteren de winnaar van de Abelprijs 2011 bekend en vandaag is het zover: de tachtigjarige John Milnor mocht de prijs van zes miljoen Noorse kronen (ongeveer 760.000 euro) ophalen in Oslo. De Abelprijs wordt sinds 2003 jaarlijks uitgereikt en is qua prestige en geldbedrag vergelijkbaar met de Nobelprijs, die voor de wiskunde niet bestaat.
Na toespraken van Ragni Piene, dit jaar voorzitter van de Abelprijscommissie, en Øyvind Østerud, voorzitter van de Noorse Academie van Wetenschappen en Letteren, overhandigde koning Harald V de prestigieuze prijs aan Milnor. Aansluitend was er een receptie.
Morgen staat er een symposium op het programma. Dan zal de kersverse winnaar een voordracht geven over ‘zijn wiskunde’. Bovendien zijn er lezingen van enkele andere prominenten uit de wiskunde: Curtis McMullen, Michael Hopkins en Etienne Ghys. Zij zullen met een toegankelijke blik het werk van Milnor toelichten.
Vooral in de topologie boekte Milnor baanbrekende resultaten. Maar ook in onder meer de algebra, dynamische systemen, K-theorie en speltheorie heeft hij zijn sporen nagelaten. In dit artikel worden enkele van zijn resultaten uit de differentiaaltopologie, de algebraïsche topologie en de knopentheorie belicht.
Exotische bollen
De topologie is een tak van meetkunde die zich bezighoudt met eigenschappen van objecten die onveranderd blijven bij vervorming: uitrekken, draaien, pletten – alles mag zolang ze maar niet scheuren of anderszins ‘kapot’ gaan. De grootte van een voorwerp doet dus in de topologie niet ter zake. Wel hoeveel gaten er in zitten, of het begrensd is, en het aantal dimensies.
Twee oppervlakken heten homeomorf als het ene oppervlak via een continue vervorming te verkrijgen is uit het andere. Wiskundigen leggen het vaak uit aan de hand van koffiekopjes en donuts: het onderstaande plaatje laat zien dat het oppervlak van een koffiekop en dat van een donut homeomorf zijn.
Sommige homeomorfe oppervlakken zijn bovendien diffeomorf. Dat betekent dat ze niet alleen via een continue vervorming in elkaar zijn over te brengen, maar ook via een differentieerbare vervorming. Bij zo’n transformatie zijn er strengere regels: niet alleen het ‘scheuren’ is verboden, de vervorming moet óók ‘netjes’ plaatsvinden: vouwen, hoeken en scherpe bochten zijn niet toegestaan.
Het verschil tussen de begrippen ‘homeomorf’ en ‘diffeomorf’ kun je vergelijken met het verschil tussen ‘gelijkvormig’ en ‘congruent’, twee bekende begrippen uit de klassieke meetkunde. Twee figuren die congruent zijn, zijn ook gelijkvormig, maar het omgekeerde geldt in zijn algemeenheid niet. De twee driehoeken hiernaast zijn wél gelijkvormig – de rechter is een vergroting van de linker – maar níet congruent: je kunt de driehoeken niet passend op elkaar leggen (omdat hun drie paar overeenkomstige zijden niet even lang zijn).
In 1956 ontdekte Milnor een object dat ook hemzelf enorm verraste: een vorm die homeomorf is met een zevendimensionale bol, maar niet diffeomorf met een zevendimensionale bol. Hij doopte dit nieuwe object exotische bol. Zo’n zevendimensionale exotische bol is dus wel op een continue manier te transformeren in een ‘gewone’ zevendimensionale bol, maar die transformatie kan niet ‘netjes’ plaatsvinden.
Het is als met het strijken van een T-shirt: als je op een bepaalde plek de rimpels eruit probeert te strijken, ontstaan er elders juist weer andere rimpels. Als je goed met het strijkijzer kunt omgaan, zal je dit misschien niet gebeuren, maar let wel: het T-shirt van Milnor is zevendimensionaal. Een ‘kreukel’ kan zomaar een ingewikkelde vierdimensionale verzameling zijn. En Milnor heeft aangetoond dat er geen strijkijzers kunnen bestaan die deze rimpels kunnen gladstrijken zonder dat er elders nieuwe rimpels ontstaan.
Milnors ontdekking verraste de hele wiskundige wereld, en niet in de laatste plaats hemzelf: “Ik was erg verbaasd toen ik dit voorbeeld vond. Eerst dacht ik dat ik een tegenvoorbeeld van het algemene Vermoeden van Poincaré in dimensie 7 had gevonden.” Vóór Milnors ontdekking werd aangenomen dat de begrippen ‘homeomorf’ en ‘diffeomorf’ voor meerdimensionale bollen equivalent zijn. De exotische bollen waren het begin van een heel nieuw vakgebied in de wiskunde: de differentiaaltopologie.
Die Hauptvermutung van de combinatorische topologie
Kennis van de kromming van de oppervlakken is belangrijk in diverse toepassingen. Denk bijvoorbeeld aan stromingssimulaties, computeranimaties en patroonherkenning. Bij de studie van gekromde oppervlakken is het verdelen van een oppervlak in driehoekjes een veelgebruikt concept. Zo’n opdeling in driehoekjes leidt tot een relatief eenvoudige en betrouwbare schatting van de te bestuderen vorm.
Een oppervlak kun je op verschillende manieren opdelen in driehoeken (trianguleren). Hiernaast zie je links een grove triangulatie van een bol, en rechts een fijnere variant. Een wiskundige wil bij het bestuderen van een vorm met behulp van triangulaties niet tot tegenstrijdige conclusies komen: twee verschillende triangulaties van eenzelfde oppervlak moeten tot dezelfde conclusies over het oppervlak leiden.
Neem een triangulatie van een zeker object en verdeel elke driehoek in kleinere driehoekjes. Deze nieuwe triangulatie noemen we een verfijning van de originele triangulatie. Als twee verschillende triangulaties beide verfijnd kunnen worden zodat dezelfde verfijning ontstaat, kun je concluderen dat de twee originele triangulaties in essentie niet verschillend kunnen zijn: ze hebben dezelfde ‘basiseigenschappen’.
In twee dimensies bestaan triangulaties altijd en hebben twee verschillende triangulaties altijd een gemeenschappelijke verfijning, zie de figuur hiernaast.
Twee Duitse wiskundigen, Ernst Steinitz en Heinrich Tietze formuleerden in 1908 het vermoeden dat dit in hogere dimensies ook zo is. Het probleem werd bekend onder de naam Hauptvermutung. Ook in Engelstalige artikelen werd steevast het Duitse woord gebruikt.
Het was John Milnor die in 1961 wist af te rekenen met het Hauptvermutung. Hij bewees dat Steinitz en Tietze het bij het verkeerde eind hadden: voor dimensies groter dan 5 is het vermoeden niet waar. Het is een resultaat uit de combinatorische topologie, dat tegenwoordig algebraïsche topologie wordt genoemd.
In dit deelgebied van de wiskunde ging het oorspronkelijk om het aantal manieren waarop een oppervlak in verschillende stukken kan worden verdeeld: een combinatorisch probleem. Maar op instigatie van Emmy Noether werd de naam omgedoopt tot ‘algebraïsche topologie’.
De kromming van een knoop
Milnor kreeg in oktober 1949 – hij was toen 18 jaar – het bericht dat zijn eerste artikel was geaccepteerd voor publicatie in het toonaangevende tijdschrift Annals of Mathematics. Het was hem gelukt een probleem uit de knopentheorie te kraken.
Hiernaast zie je een klaverbladknoop. Als je deze kromme met je vinger volgt, merk je dat hij ‘twee keer rond’ gaat. Milnor beantwoordde de vraag ‘hoe gekromd’ een driedimensionale kromme is waarvan begin- en eindpunt hetzelfde zijn. Natuurlijk is dit een beetje vaag: welke maat voor de kromming hanteren we eigenlijk?
Een manier om de kromming van een knoop te meten, is door te kijken naar de stralen van zo groot mogelijk rakende cirkels. De krommingsstraal in een punt P aan een kromme K is de straal van de cirkel die de kromme in de buurt van P het beste benadert, zie onderstaande figuur. Als we die straal r noemen, dan zeggen we dat de kromming in het punt P gelijk is aan 1/r.
Dus: hoe groter r, hoe kleiner de kromming, en vice versa. De kromming in een punt op een rechte lijn is 0: de benaderingscirkel in zo’n punt is dan immers oneindig groot. De totale kromming van K krijg je door van alle punten de kromming bij elkaar op te tellen (of preciezer: door te integreren).
De eenvoudigste knoop is een cirkel, die vaak wordt aangeduid als unknot, omdat er volgens de wiskundige definitie weliswaar sprake is van een knoop, maar normaal gesproken niet als knoop wordt gezien.
Voor de unknot geldt dat de totale kromming gelijk is aan 2π. Dat is niet moeilijk in te zien. Als K een cirkel is met straal r, dan is de benaderingscirkel K zelf, voor elk punt P op K. De totale lengte van K is 2πr, en de totale kromming vind je door dit te vermenigvuldigen met 1/r: het resultaat is 2π.
Wat Milnor aantoonde, is dat voor een echte knoop (dus geen unknot_), zoals de bovenstaande klaverbladknoop, geldt dat de totale kromming altijd méér is dan 4π. Zijn bewijs stamt uit 1950. Tegelijkertijd en onafhankelijk van Milnor, bewees István Fáry hetzelfde. Het resultaat staat bekend als de Fáry-Milnor stellingtheorem.
Zie ook:
- De officiële website van de Abelprijs (Noors/Engels)
- Diverse artikelen (pdf) over het werk van Milton (Engels)
Kennislinkartikelen over de Abelprijs:
Oeps: Onbekende tag `feed’ met attributen {"url"=>"https://www.nemokennislink.nl/kernwoorden/abelprijs.atom", “max”=>"7", “detail”=>"minder"}