Je leest:

ABC voor gevorderden

ABC voor gevorderden

Auteur: | 10 september 2004

Geert-Jan Uytdewilligen is in beroemd gezelschap. Net als Galois, Poincaré en Abel heeft hij zich beziggehouden met het oplossen van polynomen. Resultaat: oplossen in het spoor van de meesters.

Wie is er niet groot mee geworden, die abc-formule voor de nulpunten van een parabool? Of je het nou een simpel truukje vond of razend ingewikkeld, abc ‘hoort erbij’. Geert-Jan Uytdewilligen, student technische natuurkunde aan de Fontys Hogeschool Toegepaste Natuurwetenschappen in Eindhoven, heeft nu een rekenmethode opgesteld die grotere versies van het abc-probleem aankan. Knap, maar zijn ontdekking voegt weinig toe: die was namelijk al in de 19e eeuw gevonden.

Geert-Jan Uytdewilligen van de Fontys Hogeschool Toegepaste Natuurwetenschappen in Eindhoven bron: Henk Naaijkens

Nederlandse wiskundigen hielden Uytdewilligen’s methode natuurlijk tegen het licht. Prof. Tom Koornwinder (UvA) reageerde op vrijdag: “Het algoritme lijkt te werken, maar ik weet niet zeker of deze methode niet al eerder is bedacht.”

Een algoritme, dus een compleet rekenrecept met allerlei stappen – is een uitgebreidere versie van de abc-formule niet genoeg? In de 19e eeuw bewezen Abel en Ruffini al dat zo’n formule, waarin de nulpunten van een willekeurige veelterm staan uitgedrukt in simpele wortels, optelsommen en vermenigvuldigingen, niet eens kan bestaan. Alleen voor veeltermen waarin x4 de hoogste macht is kun je zo’n formule opschrijven. Vandaar dat ingewikkelder benaderingen nodig zijn.

De kwadratische vergelijking (a, b en c zijn in te vullen constantes) voor x met daaronder de abc-formule die de oplossing geeft. Is het deel onder het wortelteken (de determinant D) groter dan 0, dan zijn er twee oplossingen. Als D = 0 is er maar één oplossing, en voor D < 0 zijn er geen oplossingen in normale getallen.

Tijdens het weekend lieten andere wiskundigen hun gedachten gaan over Uytdewilligen’s paper. Dr. Rob van der Waall (UvA) zegt in een reactie (zie de links onderaan dit artikel) dat de originele methode, waarop Uytdewilligen zijn werk baseert, al hetzelfde kan als Uytdewilligen’s versie. “Het werk van Uytdewilligen verdient, indien correct, een pluim”, merkt de wiskundige op. Maar: “Cockle (1860) en Harley (1862) ontwikkelden reeds een methode om zoiets aan te pakken.”

Ook de Leidse hoogleraar Bas Edixhoven en zijn AIO Theo van den Bogaart bogen zich over Uytdewilligen’s werk. In zijn paper beschrijft die hoe je met een eigen set veeltermen de oplossingen van een veelterm-vergelijking kunt bepalen; invullen van de set in de originele formule en daaruit eisen afleiden waaraan de set moet voldoen. Edixhoven: “Het zogenaamde ontwikkelen in machtreeksen is een standaardtechniek in de wiskunde. Ook het gebruik van differentiaalvergelijkingen in deze context, zoals in het werk van Uytdewilligen, is volkomen standaard sinds de 19e eeuw.” De link naar de reactie van de twee wiskundigen is onderaan dit artikel te vinden.

Ook al vinden ze dat Uytdewilligen geen “enorme wiskundige doorbraak” heeft gemaakt, zoals in sommige berichten te lezen viel, Edixhoven en van den Bogaart zijn wel lovend over Uytdewilligen: “Het werk van Uytdewilligen is zeker een knappe prestatie, die aanmoediging verdient.”

De hardste kritiek verscheen dit weekend in het Algemeen Dagblad. H. Lenstra van het Thomas Stieltjes Institute for Mathematics: “Dat hij dit een vondst noemt. Deze jongen is helaas een eeuw te laat geboren om de eerste te kunnen zijn.”

Fontys Hogescholen noemde Uytdewilligen’s ontdekking op donderdag 9 september een “enorme wiskundige doorbraak” in haar persbericht. In reactie op de kritiek uit wiskundige kringen stelde Fontys Hogescholen haar mening bij: “Het werk van Geert-Jan is bewonderenswaardig, maar betekent geen wiskundige doorbraak”, is in een mailing te lezen.

De algemene polynoom-vergelijking. Het gehele getal n (0,1,2,3,4,…) heet de orde van het polynoom.

De kwadratische vergelijking ax2 +bx + c = 0 is deel van een hele familie formules, namelijk de polynomen. Door telkens hogere machten van x (zoals x5 of x95) toe te voegen, krijg je steeds langere reeksen van x-machten. De orde van zo’n vergelijking is de hoogste macht van x die erin voorkomt.

Polynomen komen in allerlei situaties voor. Als een vergelijking geen standaardfunctie zoals de sinus of e-macht als oplossing heeft, kun je de oplossing vaak benaderen met een polynoom. Elke extra term brengt je dan dichter bij het goede resultaat. Met oneindig lange polynomen kun je zelfs de golvende sinus perfect beschrijven.

Benadering van de sinus met een machtreeks. Hoe meer termen worden toegevoegd, hoe beter de benadering wordt. Als je de reeks onder de grafiek oneindig doorzet is die zelfs exact gelijk aan sin(x).

Natuurlijk wil je als wetenschapper zoveel mogelijk weten over de eigenschappen van je polynomen. Eén van die eigenschappen is de positie van de nulpunten: plekken waar de grafiek de x-as raakt of doorsnijdt.

Voor ordes 1 tot 4 is een abc-achtige formule op te stellen, die in termen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en worteltrekken alle nulpunten van een polynoom geeft. Voor hogere ordes is zo’n formule er gegarandeerd niet. Poincaré en Galois bewezen al in de 19e eeuw dat de oplossingen van zulke polynomen niet in simpele bewerkingen zijn uit te drukken. Ook de wiskundige Abel toonde aan dat ‘simpele’ oplossingen voor polynomen van orde 5 en hoger niet bestaan. Wel zijn die oplossingen op allerlei manieren te benaderen.

Poincaré gaf nog in de 19e eeuw een algemene methode om de nulpunten van polynomen te berekenen. Hij was niet de enige. Lambert (1775) had het idee hoe van een algemene n-degraads veelterm nulpunten te bepalen door middel van reeksen. In 1915 loste Mellin de algemene polynoomvergelijking op door middel van de zogeheten Mellin integralen. In 1884 en 1892 drukte Von Lindemann de nulpunten van een algemeen n-de graadsveelterm uit in termen van theta-functies. In de 20e eeuw werden nog andere methoden bekend om de oplossingen op te sporen.

Galois (links) en Poincaré (rechts) bewezen in de 19e eeuw dat de oplossingen van polynomen met orde van 5 en hoger niet in simpele bewerkingen zijn uit te drukken. Geen abcdefg-formules dus! bron: MacTutor Archive

Science by media

Uytdewilligen heeft met zijn werk geen onopgelost probleem opgehelderd: de oplossing voor het nulpuntenprobleem is al meer dan honderd jaar bekend. Hij heeft ook niet gezaagd aan de stoelpoten van Galois of Poincaré; zijn paper beschrijft een methode om oplossingen mee te benaderen, geen simpele formule die meteen het antwoord geeft.

Uytdewilligen’s methode staat beschreven in een paper van twee pagina’s lang, die al drie weken geleden in het internetarchief arxiv:Math is geplaatst. De paper was daarvoor nog niet aangeboden aan een vaktijdschrift of inhoudelijk gecontroleerd door wiskundigen.

Zomaar melden dat je een probleem hebt opgelost, zonder dat je het door vakgenoten hebt laten controleren, is niet zoals wetenschappers normaal hun ontdekkingen melden: science by media is geen betrouwbaar alternatief voor peer-review. Die controle door vakgenoten had Uytdehagen voor een genante uitglijder behoed.

Reacties op Uytdewilligen’s paper

Geschiedenis van polynoomonderzoek

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 10 september 2004

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.