Fractals zijn fraaie wiskundige figuren die sinds de introductie van de PC heel populair zijn. Fractals teken je niet met de hand maar op een computer, omdat om je een fractal eigenlijk niet tekent, maar berekent.
Hieronder zie je een voorbeeld van een zogenaamde Julia-fractal (figuur 1). Julia-fractals zijn figuren in het xy-vlak. Veel minder bekend zijn de zogenaamde quaternion Julia-fractals. De wiskundige achtergronden hiervan worden uitgelegd op de homepage. Hier gaan we ze alleen tekenen, met een computerprogramma dat je gratis van internet af kan halen.
Figuur 1. Een Julia fractal
QJN
Quaternion Julia fractals kunt je zelf maken met een computerprogramma dat Martijn Dekker heeft geschreven. Het heet QJN, een afkorting van Quaternion Julia Navigator. Alle illustraties bij dit stukje zijn gemaakt met QJN. Het programma is gratis en je kunt het ophalen op internet door naar de QJN-homepage te surfen. Je vindt daar een beschrijving van het programma en voorbeelden. Met dit programma kun je ook allerlei trucs uithalen met de fractals; je kunt ze roteren, een ander kleurtje geven of kiezen voor een andere belichting. Met een stereo-bril krijg je zelfs 3D-effecten.
Installeren
Het QJN-programma draait onder Windows 95. Je kunt het zelf installeren. Surf naar http://www.angelfire.com/wa/fractals/fractalgenerators.html. Download daar het bestand bestand qjnv091.zip. Dit bestand moet je unzippen (sommige browsers doen dat vanzelf). Je krijgt dan een bestand qjnv091.exe, dat is een programma dat je kunt opstarten. (Als je deze bestanden niet kunt vinden, zoek dan met ‘find’ naar qjnv.)
Figuur 2. Een ‘screenshot’ van de Quaternion Julia Navigator.
Gebruiksaanwijzing
Als je qjnv091.exe opstart krijg je twee schermen: een tekenscherm en een coördinatenscherm. Op het tekenscherm kun je met ‘view’ een fractal berekenen en tekenen. Maak in het begin het plaatje niet al te groot, want een berekening kan veel tijd in beslag nemen. De grootte van het plaatje stel je in met ‘size’.
De eerste fractal die je zo krijgt is niet erg indrukwekkend, een soort bol. Om interessante figuren te krijgen, heb je het coördinatenscherm nodig (‘coordinates’). Door in de twee figuurtjes linksonder met je muis punten aan te klikken krijg je een andere fractal. Op de plaats waar je geklikt hebt verschijnt een rood puntje. Alleen puntjes in de gele gebieden leveren Julia-fractals op en punten aan de rand van het gele gebied geven de interessantste figuren. Op het coördinatenscherm kun je verder nog kiezen welk stuk van de xyz-ruimte je wil tekenen en onder welke hoek je de fractal wil bekijken.
Als je een keuze gemaakt hebt, kun je met ‘view’ de nieuwe figuur berekenen en tekenen. Je kunt zelfs schaduwen toevoegen of zelfs stereo-beelden maken, maar om die te bekijken heb je wel een stereobril nodig, een bril met een rood en een blauw glas. Onder ‘rendering’ zitten nog een aantal leuke opties, waarmee je kleur en belichting van de figuur kunt wijzigen zonder dat de figuur opnieuw berekend hoeft te worden.
Een fractal
4D
Vlakke figuren teken je in het xy-vlak, driedimensionale figuren in de xyz-ruimte. In de plaatjes zie je steeds driedimensionale figuren afgebeeld. Toch zijn Quaternion Julia fractals niet drie-, maar vierdimensionaal! Dit betekent dat je vier coördinaten nodig hebt om te tekenen, je tekent ze in een xyzt-ruimte.
Hoe kunnen we die vierdimensionale fractals weergeven? Om dit uit te leggen bekijken we eerst een driedimensionaal object, bijvoorbeeld een bol. Als je die in hele dunne plakje snijdt, dan krijg je een heleboel steeds kleiner wordende cirkels. Elk van die cirkels is een tweedimensionale figuur en als je allemaal achter elkaar neerzet vormen ze een bol. Maar de cirkelplakjes kun je ook in de goede volgorde één voor één bekijken. Je krijgt dan een film die als het ware een reis door de bol weergeeft. Het begint met een stipje dat uitgroeit tot steeds grotere cirkels. Later worden de cirkels weer kleiner, om weer te eindigen in een stipje.
Onze quaternion Julia fractals zijn vierdimensionaal, maar in het QJN-programma bekijk je steeds een driedimensionaal ‘plakje’. De plaats van dit plakje kun je wijzigen met ‘hyperplane’. Als je de fractal opnieuw berekent met een andere ‘hyperplane’-waarde, krijg je een ander plakje van dezelfde quaternion Julia fractal. Door een aantal van deze plakjes achter elkaar te bekijken, krijg je een indruk van de vierdimensionale fractal. Door heel veel van deze plaatjes achterelkaar te plakken kun je zelfs een filmpje maken. Hier kunnen we zo’n filmpje niet tonen, maar op internet kan dat wel – kijk op de QJN-homepage of op de homepage van Pythagoras.