Een priemgetal is een getal met precies twee delers. De tien kleinste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. De oude Grieken konden al bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen bestaan. Het oudste bewijs van het bestaan van oneindig veel priemgetallen dat wij kennen, is van de Griekse wiskundige Euclides (omstreeks 300 voor Christus). Toch is maar van een eindig aantal getallen bekend of ze priem zijn. Elk jaar worden er, met behulp van computers, nieuwe priemgetallen gevonden. Soms (niet vaker dan twee keer per jaar) wordt hierbij het record van grootst bekende priemgetal gebroken. Hoogstwaarschijnlijk was het op 4 september weer raak!

Fermat-getallen

Sommige wiskundigen bestuderen een bepaalde soort getallen. De Franse wiskundige Pierre de Fermat (1601-1665) bijvoorbeeld rekende aan getallen van de vorm 2[^2ⁿ^] + 1, met n een natuurlijk getal. Hij kwam erachter dat voor n = 0, 1, 2, 3, 4 dit priemgetallen zijn. Hij dacht dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat álle getallen 2[^2ⁿ^] + 1 priem zijn. Hij kon zijn vermoeden echter niet bewijzen. De Duitse wiskundige Christian Goldbach (1690-1764) was gegrepen door Fermats vermoeden. Hij ging eraan rekenen en correspondeerde erover met de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783). Euler kwam tot het verrassende resultaat dat 2[^2⁵^] + 1 géén priemgetal is omdat het deelbaar is door 641. Hiermee had hij Fermats vermoeden onderuit gehaald.

Mersenne-priemgetallen

Een andere soort getallen waar veel wiskundigen in geïnteresseerd zijn, zijn getallen van de vorm 2[^ m^] – 1, met m een natuurlijk getal. Dit zijn Mersenne-getallen, naar de Franse monnik en amateurwiskundige Marin Mersenne (1588-1648). Een Mersenne-priemgetal is een Mersenne-getal dat priem is. Mersenne-getallen zijn getallen waarvan relatief makkelijk kan worden vastgesteld of ze priem zijn. De grote priemgetallen die de laatste jaren werden gevonden, zijn dan ook allemaal van deze vorm. Tot voor kort kenden we 43 Mersenne-priemgetallen. Het lijkt erop dat sinds 4 september nummer 44 een feit is. Helemaal zeker weten doen we dat nog niet: op dit moment vindt verificatie plaats en over enkele dagen zullen we het echt zeker weten.

Het zoeken naar Mersenne-priemgetallen gebeurt via internet. In het kader van het project GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) stellen duizenden vrijwilligers de ongebruikte rekencapaciteit van hun computer beschikbaar voor via internet gedistribueerde berekeningen. GIMPS bestaat sinds januari 1996. Als het getal dat nu wordt geverifieerd inderdaad priem is, is dat GIMPS’ tiende priemgetal.

Oneindig veel Mersenne-priemgetallen?

Hoeveel Mersenne-priemgetallen zijn er? We weten het niet. Dat op 4 september waarschijnlijk het 44ste Mersenne-priemgetal is gevonden, geeft aan dat we er maar weinig kennen. Het 43ste Mersenne-priemgetal werd op 15 december 2005 gevonden door (de computer van) Curtis Cooper en Steven Boone van de Central Missouri State University: 2^30.402.457 – 1. Dit priemgetal heeft 9.152.052 cijfers.

De vraag is of er ooit een eind aan de rij Mersenne-priemgetallen komt. Er zijn redenen om aan te nemen dat dit niet zo is, maar een bewijs ontbreekt. Het wordt enigszins aannemelijk gemaakt door de onderstaande illustratie, waarin het aantal cijfers van het n-de Mersenne-priemgetal uitgezet is tegen n. Let op de logaritmische schaal op de verticale as. Je ziet dat de bekende Mersenne-priemgetallen vrijwel op een rechte lijn liggen. Er zijn wel wat argumenten te bedenken waarom dat ook zo zou moeten zijn, maar een bewijs is er nog niet!

Update 12 september 2006

Op 11 september was de verificatie gereed. Gebleken is dat het betreffende getal, 2^32.582.657 – 1, inderdaad priem is. Het is het grootst bekende priemgetal tot nu toe, maar is met 9.808.358 cijfers nog net te klein om in aanmerking te komen voor de 100.000 dollar, die de organisatie van GIMPS uitlooft voor de eerste die een Mersenne-priemgetal van ten minste tien miljoen cijfers vindt. Het nieuwe priemgetal werd gevonden door Curtis Cooper en Steven Boone, die ook al het vorige Mersenne-priemgetal vonden, in december 2005.

In Pythagoras 45-3 (januari 2006) schreef Jan van de Craats het artikel ‘Spookgetallen’, waarin nog veel meer te lezen is over Mersenne-priemgetallen.