Je leest:

140 jaar oud probleem opgelost

140 jaar oud probleem opgelost

Auteur: | 14 maart 2008

Een wiskundig probleem waarover 140 jaar geleden voor het eerst werd nagedacht, is opgelost door de Britse wiskundige Darren Crowdy. Hij heeft een doorbraak bereikt op het terrein van ‘conforme afbeeldingen’, wiskundig gereedschap dat door onder meer ingenieurs en neurowetenschappers gebruikt wordt.

Nederlandse kranten vonden het niet interessant genoeg, maar Britse kranten kopten eerder deze maand met de claim dat een 140 jaar oud wiskundig probleem is opgelost. Het gaat om een klassieke formule, de Schwarz-Christoffel-formule, die breed kan worden toegepast in onder andere de bouwkunde en de natuurkunde.

Met de Schwarz-Christoffel-formule kan een achthoek worden getransformeerd in een cirkel

Professor Darren Crowdy van het Imperial College in Londen heeft de Schwarz-Christoffel-formule uitgebreid, zodat het palet aan toepassingen groter wordt. De Duitse wiskundigen Elwin Christoffel en Hermann Schwarz werkten eind jaren 1860 onafhankelijk van elkaar aan hetzelfde probleem en vonden min of meer tegelijkertijd eenzelfde resultaat, dat bekend staat als de Schwarz-Christoffel-formule. De formule kan worden gebruikt om een veelhoek, zoals de vorm van een achthoekig stopbord, af te beelden in een cirkel, zonder dat de hoek waaronder twee lijnen elkaar snijden, verandert. Een afbeelding die ‘hoektrouw’ (wiskundigen noemen het ook wel ‘hoek-invariant’) is, heet een conforme afbeelding.

Een conforme afbeelding: de rechte lijnen in de oorspronkelijke vorm zijn in de getransformeerde vorm gebogen, maar de hoek waaronder twee lijnen elkaar snijden, blijft onveranderd.

De Schwarz-Christoffel-formule maakt het mogelijk om ingewikkelde vormen te transformeren in een cirkel, die veel eenvoudiger is om te analyseren. Door de hoek-invariantie zijn de resultaten van de getransformeerde afbeelding tevens van toepassing op de oorspronkelijke afbeelding. De ingewikkelde vorm van bijvoorbeeld een vliegtuigvleugel kan met de Schwarz-Christoffel-formule worden getransformeerd in een cirkel. De bewegingen van die vleugel kunnen worden geanalyseerd met behulp van de getransformeerde vorm. Tegenwoordig wordt de Schwarz-Christoffel-formule ook gebruikt in de neurowetenschap: de gecompliceerde structuur van bepaalde hersendelen kunnen onderzocht worden dankzij deze formule.

Beperking van de formule is verleden tijd

De Schwarz-Christoffel-formule had één grote beperking: de oorspronkelijke vorm mocht geen gaten of rare onregelmatigheden bevatten. Maak in het achthoekige stopbord een paar gaten, en de Schwarz-Christoffel-formule transformeert deze vorm in een onbruikbare mengelmoes. In de praktijk is dat altijd een grote beperking geweest: het komt nogal eens voor dat een object gaten bevat of dat het materiaal van een object niet overal gelijk is, bijvoorbeeld omdat het uit verschillende materialen bestaat of omdat het object niet overal even dik is.

In de jaren 1930 hebben wiskundigen dit probleem deels opgelost: ze wisten hoe de Schwarz-Christoffel-formule moest worden aangepast bij een vorm met één gat. Maar voor het algemene probleem – hoe kan de Schwarz-Christoffel-formule worden gebruikt bij een vorm met twee of meer gaten? – kon tot voor kort niemand een oplossing bedenken.

Nu heeft Crowdy het probleem geheel opgelost. Het doet er niet toe hoeveel gaten een object heeft, Crowdy heeft de Schwarz-Christoffel-formule zodanig weten uit te breiden dat elk object kan worden getransformeerd in een eenvoudiger te analyseren vorm. De sleutel ligt in het concept van ‘Schottky-groepen’, genoemd naar de Duitse wiskundige Friedrich Schottky.

Een vorm met twee gaten kan dankzij het werk van Darren Crowdy worden getransformeerd in een cirkel (met twee cirkelvormige gaten). Afbeelding: Darren Crowdy

Conflict

Het nieuws heeft tot verontwaardiging geleid bij drie Amerikaanse wiskundigen. John Pfaltzgraff, Thomas DeLillo en Alan Alcrat beweren dat zij de basis voor het algemene probleem al eerder hadden gevonden. In 2004 publiceerden zij een formule waarmee volgens hen het Schwarz-Christoffel-probleem al was opgelost. Crowdy ontkent dat: deze wiskundigen hebben de relevantie van de Schottky-groepen niet ingezien. Volgens sommigen doet dit conflict tussen de Brit en de drie Amerikanen er niet toe; Michael Siegel van het New Jersey Institute of Technology in Newark doet de credits aan allevier toekomen, in ‘Science News’ zegt hij: “Het is een doorbraak, en al deze mensen hebben daaraan bijgedragen.”

Waarom het resultaat van Crowdy pas deze maand in het nieuws kwam, is onduidelijk. Zijn artikel ‘Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions’ verscheen al in 2007 in Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society.

De buitenlandse pers over het resultaat van Crowdy:

Zie verder:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 14 maart 2008
NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.