Je leest:

0 – Over Niets

0 – Over Niets

Auteur: | 30 november 2012

De 0 kan wel dienen voor het aanduiden van ‘niets’, maar het is niet nodig voor de plaatsaanduiding van getallen. Tijd om een aantal onwaarheden over de nul recht te zetten

Op Schiphol dragen drie landingsbanen het nummer 36 in plaats van het nummer 0, hoewel dit nummer verwijst naar de oriëntatie volgens de magnetische noordpool, en 360° hetzelfde is als 0°. Maar luchtverkeerleiders verkiezen 36 boven 0, want in stresserende omstandigheden zouden piloten de oproep ‘Hier controletoren; uw landingsbaan is nul’ niet noodzakelijk goed begrijpen. Dit stond in het artikel over de ‘foute landingsbaan van Zaventem’, dat het foute nummer uitbracht van de baan 02 van Brussels Airport.

Net zoals er geen ‘runway zero’ is, is er geen ‘jaar 0’. Toch niet in de burgerlijke kalender, want de astronomische heeft dit wel. Opmerkelijk is ook dat volgens Wikipedia de 0 in België zowel positief als negatief zou zijn, en in Nederland niet positief noch negatief! De nul geeft nog aanleiding tot andere vragen, bijvoorbeeld bij het ordenen van gegevensbanken: wat moet er gebeuren met getallen die voorafgegaan worden door een 0? Schik je 0123 voor of na 123? Een begin-nul heeft meestal geen betekenis, tenzij het natuurlijk bijvoorbeeld een telefoonnummer betreft.

Halvering van de waarde

Het cijfer nul heeft eigenlijk twee functies in het gebruikelijke getallenstelsel: die van ‘niets’, het verschil van 1 en 1 of van 2 en 2 enzovoort, en die van de plaatsaanduiding bij het noteren van tientallen, honderdtallen, enzovoort. Omdat er een nul achter de 1 staat, wordt die in de uitdrukking ‘10’ in gedachten met 10 vermenigvuldigd, in de uitdrukking ‘100’ met 100 vermenigvuldigd omdat er 2 nullen achter staan, enzovoort. Analoog wijst de 0 er in ‘20’ op dat de 2 met 10 moet worden vermenigvuldigd. Maar op de keper beschouwd betekenen de nullen in 10, 100 en 20 niet ‘niets’. Integendeel, ze wijzen erop dat de plaats van de cijfers links ervan met ‘een’ wordt verschoven, en dus vermenigvuldigt elke 0 – die dienst doet als plaatsaanduider – het aantal van het cijfer ervoor met 10.
Deze bedragen staan allebei voor 10,23 euro en zouden dus allebei aanvaard moeten worden. Een tip voor getergde spaarders die de bankwereld een neus willen zetten?
EOS Magazine

Op formulieren met hokjes waarin eventuele cijfers ingevuld moeten worden, is de nul eigenlijk totaal overbodig. Overschrijvingsformulieren waarop 10,23 euro of 0010,23 euro of 1_,23 euro staan zouden bijgevolg op dezelfde wijze zonder moeilijkheden moeten worden aanvaard door de bank. Maar misschien is dit veeleer een tip voor getergde spaarders die de bankwereld een neus willen zetten. Bij het uitvoeren van een vermenigvuldiging of een staartdeling voelen we trouwens zelf snel aan dat er een verschil is tussen de nul voor ‘niets’ en de nul voor de plaatsbepaling van een cijfer, want soms wordt al eens een puntje geplaatst waar een 0 moet staan. Volgens sommigen doet dit puntje enigszins Arabisch aan, en misschien is dat ook zo, want het Midden-Oosten gebruikt in ‘haar’ Arabische cijfers (die verschillen van ‘de onze’), wel degelijk een puntje voor de nul.

Bij verkeersborden voor snelheidsbeperkingen zijn de stippen soms nauwelijks zichtbaar, en moet de automobilist ze gissen aan de hand van de cijfers die niet nul zijn. Het aanduiden van de 0 is dus niet noodzakelijk wanneer het de verduidelijking van de positie van een getal betreft. Trouwens, de Babyloniërs hadden alleen een dergelijk ‘puntje’, die geen echte 0 was vermits die nooit alleen gebruikt werd. De ‘plaatsaanduider’ stond zelfs niet aan het einde van een getal. Voor de Babyloniërs met hun zestigtallig stelsel, leken getallen zoals 2 en 2 × 60 = 120, of 3 en 3 × 60 = 180 identiek, en de lezer kon hen enkel onderscheiden door de context. De Grieken vonden de nul maar niets, noch als plaatsaanduiding, noch als symbool voor het niets, want ze vroegen zich af ‘hoe niets iets kon zijn’. In India kreeg de 0 wel een plaats en is er zelfs een schrijn waar een bedevaart naar de oorsprong van het nietszeggende symbool in stijl kan worden afgesloten.

Het puntje op arabische verkeersborden wordt daar gebruikt als teken voor 0
EOS Magazine

Het Bellsysteem

Over de vraag van het nut van de nul voor het positiestelsel van de getallen schreef ingenieur Raymond Boute (UGent) een artikel in het jaar 2000, wat een beetje symbolisch was vanwege de drie nullen in het jaartal. Hij beschreef een positioneel systeem zonder 0, door voor te stellen om aan de 10 een apart teken toe te kennen. Hoewel hij voor de nul als teken voor het ‘niets’ de 0 behield, stelde hij voor 10 een nieuw teken voor, dat hier voor de eenvoud door q zal worden vervangen. Hierbij volgde hij dus niet een door Facebook en andere sociale media wijdverspreide mythe als zou de vorm van een cijfer bepaald worden door het aantal hoeken in het cijfer (zie kader ‘0 op Facebook’). Boute noemt zijn cijfersysteem van 1, 2, 3, …, 8, 9, q het ‘BS’. De ‘B’ staat voor ‘Bell’, want op een telefoon (uitgevonden door de Amerikaan Graham Bell) is 0 ook gewoon een tiende teken.

De geboorteplaats van de nul

De 0 als afzonderlijk symbool voor ‘niets’ komt uit het India van de 9e eeuw v. Chr. In de stad Gwalior kan in de Chaturbhuja-tempel van de ‘vierarmengod’ een steen worden bewonderd met het allereerste nulteken. Trouwens, India strijdt ook met de Babyloniërs om de titel van eerste gebruiker van de 0 in het positiestelsel want al in 6e eeuw v. Chr. staat hiervoor een stip in de tekst ‘Lokavibhaga’. Uiteindelijk zou de Italiaan Fibonacci (van de konijnenrij, jawel, of nog, van Dan Browns ‘Da Vinci code’) in 1202 de nul invoeren in Europa, nadat hij haar had opgemerkt in Arabische geschriften.

EOS Magazine

Trouwens, samen met het bekende hekje # en sterretje * vormen de telefoonsymbolen eigenlijk een twaalftallig stelsel, want elke gsm beschikt zo over 12 symbolen. Terloops vermelden we dat de tien vingers op dezelfde wijze niet zozeer leiden tot de basis 10, maar tot de basis 11, want met de vingers creëer je 11 symbolen: een voor elke vinger die getoond wordt, plus een wanneer geen enkele vinger getoond wordt. Het BS als getallenrepresentatie heeft geen plaatsaanduidende 0 nodig, en bovendien is elke schrijfwijze van een getal uniek, in tegenstelling tot wat het geval is bij de gebruikelijke getallenvoorstelling, waarbij getallen met of zonder beginnullen identiek zijn (zo is 01 = 1, of 0002=2, enzovoort). De getallen 1, 2, 3, …, 8, 9, 10, 11, 12, …, 18, 19, 20, 21, … worden dan in het BS-systeem genoteerd met 1, 2, 3, …, 8, 9, q, 11, 12, …, 18, 19, 1q, 21, … Als men de honderd bereikt, wordt het iets moeilijker. Dan worden … 99, 100, 101, 102, …, 109, 110, 111, … in het BS-systeem voorgesteld door: … 99, 9q, ϑ1, ϑ2, …, q9, ϑq, 111, … En zo wordt bijvoorbeeld 10000 = 999q.

Wie er een beetje aan went, kan snel leren rekenen met het nieuwe systeem. Als er geen nullen of q-symbolen in voorkomen, zijn beide noteringen trouwens identiek. Zo wordt 3912 in beide systemen op dezelfde wijze geschreven. Ook een optelling zoals 1243 + 6451 = 7694 is dan in beide stelsels hetzelfde. Als er een q of een 0 bij te pas komt, vergt het wat meer inspanning: 3q9q wordt 4100, 3ϑϑ1 is 4101. 7q91 + 12q = 8221 en dit komt overeen met 8091 + 130 = 8221. Bij een verschil moet je rekening houden met het ‘regeltje’ van het ontlenen van een tiental, honderdtal of een duizendtal aan het cijfer links ervan. Zo is 7q91 – 12q = 7961 en dit is in het gebruikelijke systeem 8091 – 130 = 7961. Oefening baart (wis)kunst.

Zonder 0 in Nederland

De beschreven systemen uit dit stuk zijn natuurlijk mooi, maar, geloof het of niet, er bestaan al veel langer systemen die geen nul gebruiken. De Nederlander Rinus Roelofs creeerde al zo een systeem in 1975. In dit systeem worden de nullen weggelaten. In plaats daarvan voert Roelofs een nieuw teken in, dat een tiental representeert. Met dit nieuwe teken kan vervolgens worden opgeteld, vermenigvuldigd en gedeeld op precies dezelfde manier als in het systeem met nullen. Op deze manier heb je niet meer de ‘verwarrende’ notatie van een 1 en een 0 als 10. In plaats daarvan gebruikt men dan het nieuwe teken.

Eén van de aantekeningenblaadjes waarop Rinus Roelofs zijn getalsysteem uitwerkte.

Rinus Roelofs

Al met al vond Boute het BS in de eerste plaats uit om aan te tonen hoe enige verbeeldingskracht een onjuiste opvatting kan doorbreken. De precieze uitwerking ervan vergt wel wat meer gevorderde wiskundige logica, en het was vooral een oefening in correct formeel werken die hij beoogde, eerder dan een alternatief voor een bestaande conventie. Gelukkig maar, want anders had James Bond wel eens een probleem kunnen hebben: in Boutes stelsel zonder nullen was geen plaats voor een 007…

0 op Facebook

De reden om Boutes artikel nu in de actualiteit te brengen, is een mythe die tegenwoordig erg welig tiert op het internet, op Facebook en op andere sociale media. Om de haverklap duikt een tekening op waaruit zou blijken dat de Arabieren ‘hun’ Arabische cijfers uitvonden door zich te baseren op het aantal hoeken in elk cijfersymbool. De nul zou dan rond zijn precies omdat het cijfer geen enkele hoek heeft. Dit is echter een interpretatie ‘a posteriori’, die nergens op steunt, behalve op een overdosis fantasie. Trouwens, voor de 8 worden soms verschillende tekeningen ‘getagd’. Hier lieten we ons erdoor leiden om zo voor de ‘nieuwe 10’ of q nog een nieuw symbool te ontwerpen, met 10 hoeken. Wetenschappelijk verantwoord is het allemaal niet echt, maar toch duwen ook wiskundigen bij het zien van deze multiculturele wiskundige creativiteit al eens op het knopje ‘Vind ik leuk’…

EOS Magazine

Dit artikel verscheen eerder in EOS Magazine. Met dank aan Rinus Roelofs.

Dit artikel is een publicatie van EOS Magazine.
© EOS Magazine, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 30 november 2012

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.