0 – Over Niets

Op Schiphol dragen drie landingsbanen het nummer 36 in plaats van het nummer 0, hoewel dit nummer verwijst naar de oriëntatie volgens de magnetische noordpool, en 360° hetzelfde is als 0°. Maar luchtverkeerleiders verkiezen 36 boven 0, want in stresserende omstandigheden zouden piloten de oproep ‘Hier controletoren; uw landingsbaan is nul’ niet noodzakelijk goed begrijpen. Dit stond in het artikel over de ‘foute landingsbaan van Zaventem’, dat het foute nummer uitbracht van de baan 02 van Brussels Airport.

Net zoals er geen ‘runway zero’ is, is er geen ‘jaar 0’. Toch niet in de burgerlijke kalender, want de astronomische heeft dit wel. Opmerkelijk is ook dat volgens Wikipedia de 0 in België zowel positief als negatief zou zijn, en in Nederland niet positief noch negatief! De nul geeft nog aanleiding tot andere vragen, bijvoorbeeld bij het ordenen van gegevensbanken: wat moet er gebeuren met getallen die voorafgegaan worden door een 0? Schik je 0123 voor of na 123? Een begin-nul heeft meestal geen betekenis, tenzij het natuurlijk bijvoorbeeld een telefoonnummer betreft.

Halvering van de waarde

Het cijfer nul heeft eigenlijk twee functies in het gebruikelijke getallenstelsel: die van ‘niets’, het verschil van 1 en 1 of van 2 en 2 enzovoort, en die van de plaatsaanduiding bij het noteren van tientallen, honderdtallen, enzovoort. Omdat er een nul achter de 1 staat, wordt die in de uitdrukking ‘10’ in gedachten met 10 vermenigvuldigd, in de uitdrukking ‘100’ met 100 vermenigvuldigd omdat er 2 nullen achter staan, enzovoort. Analoog wijst de 0 er in ‘20’ op dat de 2 met 10 moet worden vermenigvuldigd. Maar op de keper beschouwd betekenen de nullen in 10, 100 en 20 niet ‘niets’. Integendeel, ze wijzen erop dat de plaats van de cijfers links ervan met ‘een’ wordt verschoven, en dus vermenigvuldigt elke 0 – die dienst doet als plaatsaanduider – het aantal van het cijfer ervoor met 10.

Op formulieren met hokjes waarin eventuele cijfers ingevuld moeten worden, is de nul eigenlijk totaal overbodig. Overschrijvingsformulieren waarop 10,23 euro of 0010,23 euro of 1_,23 euro staan zouden bijgevolg op dezelfde wijze zonder moeilijkheden moeten worden aanvaard door de bank. Maar misschien is dit veeleer een tip voor getergde spaarders die de bankwereld een neus willen zetten. Bij het uitvoeren van een vermenigvuldiging of een staartdeling voelen we trouwens zelf snel aan dat er een verschil is tussen de nul voor ‘niets’ en de nul voor de plaatsbepaling van een cijfer, want soms wordt al eens een puntje geplaatst waar een 0 moet staan. Volgens sommigen doet dit puntje enigszins Arabisch aan, en misschien is dat ook zo, want het Midden-Oosten gebruikt in ‘haar’ Arabische cijfers (die verschillen van ‘de onze’), wel degelijk een puntje voor de nul.

Bij verkeersborden voor snelheidsbeperkingen zijn de stippen soms nauwelijks zichtbaar, en moet de automobilist ze gissen aan de hand van de cijfers die niet nul zijn. Het aanduiden van de 0 is dus niet noodzakelijk wanneer het de verduidelijking van de positie van een getal betreft. Trouwens, de Babyloniërs hadden alleen een dergelijk ‘puntje’, die geen echte 0 was vermits die nooit alleen gebruikt werd. De ‘plaatsaanduider’ stond zelfs niet aan het einde van een getal. Voor de Babyloniërs met hun zestigtallig stelsel, leken getallen zoals 2 en 2 × 60 = 120, of 3 en 3 × 60 = 180 identiek, en de lezer kon hen enkel onderscheiden door de context. De Grieken vonden de nul maar niets, noch als plaatsaanduiding, noch als symbool voor het niets, want ze vroegen zich af ‘hoe niets iets kon zijn’. In India kreeg de 0 wel een plaats en is er zelfs een schrijn waar een bedevaart naar de oorsprong van het nietszeggende symbool in stijl kan worden afgesloten.

Het Bellsysteem

Over de vraag van het nut van de nul voor het positiestelsel van de getallen schreef ingenieur Raymond Boute (UGent) een artikel in het jaar 2000, wat een beetje symbolisch was vanwege de drie nullen in het jaartal. Hij beschreef een positioneel systeem zonder 0, door voor te stellen om aan de 10 een apart teken toe te kennen. Hoewel hij voor de nul als teken voor het ‘niets’ de 0 behield, stelde hij voor 10 een nieuw teken voor, dat hier voor de eenvoud door q zal worden vervangen. Hierbij volgde hij dus niet een door Facebook en andere sociale media wijdverspreide mythe als zou de vorm van een cijfer bepaald worden door het aantal hoeken in het cijfer (zie kader ‘0 op Facebook’). Boute noemt zijn cijfersysteem van 1, 2, 3, …, 8, 9, q het ‘BS’. De ‘B’ staat voor ‘Bell’, want op een telefoon (uitgevonden door de Amerikaan Graham Bell) is 0 ook gewoon een tiende teken.

Trouwens, samen met het bekende hekje # en sterretje * vormen de telefoonsymbolen eigenlijk een twaalftallig stelsel, want elke gsm beschikt zo over 12 symbolen. Terloops vermelden we dat de tien vingers op dezelfde wijze niet zozeer leiden tot de basis 10, maar tot de basis 11, want met de vingers creëer je 11 symbolen: een voor elke vinger die getoond wordt, plus een wanneer geen enkele vinger getoond wordt. Het BS als getallenrepresentatie heeft geen plaatsaanduidende 0 nodig, en bovendien is elke schrijfwijze van een getal uniek, in tegenstelling tot wat het geval is bij de gebruikelijke getallenvoorstelling, waarbij getallen met of zonder beginnullen identiek zijn (zo is 01 = 1, of 0002=2, enzovoort). De getallen 1, 2, 3, …, 8, 9, 10, 11, 12, …, 18, 19, 20, 21, … worden dan in het BS-systeem genoteerd met 1, 2, 3, …, 8, 9, q, 11, 12, …, 18, 19, 1q, 21, … Als men de honderd bereikt, wordt het iets moeilijker. Dan worden … 99, 100, 101, 102, …, 109, 110, 111, … in het BS-systeem voorgesteld door: … 99, 9q, ϑ1, ϑ2, …, q9, ϑq, 111, … En zo wordt bijvoorbeeld 10000 = 999q.

Wie er een beetje aan went, kan snel leren rekenen met het nieuwe systeem. Als er geen nullen of q-symbolen in voorkomen, zijn beide noteringen trouwens identiek. Zo wordt 3912 in beide systemen op dezelfde wijze geschreven. Ook een optelling zoals 1243 + 6451 = 7694 is dan in beide stelsels hetzelfde. Als er een q of een 0 bij te pas komt, vergt het wat meer inspanning: 3q9q wordt 4100, 3ϑϑ1 is 4101. 7q91 + 12q = 8221 en dit komt overeen met 8091 + 130 = 8221. Bij een verschil moet je rekening houden met het ‘regeltje’ van het ontlenen van een tiental, honderdtal of een duizendtal aan het cijfer links ervan. Zo is 7q91 – 12q = 7961 en dit is in het gebruikelijke systeem 8091 – 130 = 7961. Oefening baart (wis)kunst.

Al met al vond Boute het BS in de eerste plaats uit om aan te tonen hoe enige verbeeldingskracht een onjuiste opvatting kan doorbreken. De precieze uitwerking ervan vergt wel wat meer gevorderde wiskundige logica, en het was vooral een oefening in correct formeel werken die hij beoogde, eerder dan een alternatief voor een bestaande conventie. Gelukkig maar, want anders had James Bond wel eens een probleem kunnen hebben: in Boutes stelsel zonder nullen was geen plaats voor een 007…